Límites de la convolución discreta

Question

Sea \begin{align} a_n= cos \left( \frac{\pi}{2} n\right)n^{- \frac{1}{2}n +\frac{1}{2} } \end{align}

y que \begin{align} c_{2n}= \sum_{m=0}^{2n} a_m a_{2n-m} \end{align}

Obsérvese que la anterior es una operación de convolución discreta

Pregunta 1 : ¿Podemos establecer que \begin{align} \lim_{n \to \infty } c_{2n}=0 \end{align}

Pregunta 2: Si lo de es cierto ¿podemos establecer también a qué velocidad lo hace $c_{2n}$ ir a cero mostrando límites en $|c_{2n}|$ ?

Gracias.

Answer 1

Utilización de un producto de Cauchy :

$$\sum c_n = \left(\sum a_n\right)^2 = \left(\sum \frac{i^n +(-i)^n}{2} n^{- \frac{1}{2}n +\frac{1}{2} }\right)^2$$

que converge, por tanto $ c_n \longrightarrow 0$ .