¿El radio de convergencia está relacionado con el límite de la proporción o con la mitad del intervalo de convergencia?

Question

Tengo una serie $S$ con términos generales $a_n=\frac{(-1)^n(x-1)^n}{(2n-1)2^n}$ , $n\ge 1$ :

$$S = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x-1)^n}{(2n-1)2^n}$$

Encontrar el cociente $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ y luego encontrar el límite de la relación como $n\to\infty$ me parece que el límite es $1$ y que el intervalo sea $-1 \lt x \lt 3$ . Más declarativamente, el intervalo es $\left|\frac{x1}{2}\right| \lt 1$ que he refinado a lo dicho anteriormente.

He leído sitios contradictorios que afirman que el radio $R$ de convergencia es $\frac{1}{N}$ donde $N$ es el límite como se encontró anteriormente, sino también que es la mitad de la longitud del intervalo.

Aquí está mi trabajo:

$$\begin{align} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}}{(2(n+1)-1)2^{n+1}}}{\frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{(2n-1)2^{n}}}\right| \\ &= \left|\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}(2n-1)(2^n)}{(-1)^n(x-1)^n(2(n+1)-1)(2^{n+1})}\right| \\ &= \left|\frac{(-1)(x-1)(2n-1)}{(2n+2-1)(2)}\right| \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \left|\frac{2n-1}{2n+2}\right| \end{align}$$

Entonces, encontrando el límite $L$ :

$$\begin{align} L &= \lim_{n\to\infty} \left(\left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \left|\frac{2n-1}{2n+1}\right|\right) \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2n-1}{2n+1}\right| \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \lim_{n\to\infty} \left|\frac{\frac{2n}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}+\frac{1}{n}}\right| \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \lim_{n\to\infty} \left|\frac{2-\frac{1}{n}}{2+\frac{1}{n}}\right| \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \left|\frac{\lim_{n\to\infty} \left(2-\frac{1}{n}\right)}{\lim_{n\to\infty} \left(2+\frac{1}{n}\right)}\right| \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times \left|\frac{2}{2}\right| \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \times 1 \\ &= \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \end{align}$$

Entonces sé que mi intervalo es $\left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \lt 1$ :

$$\left|\frac{-(x-1)}{2}\right| \lt 1 \\ -1 \lt \frac{x-1}{2} \lt 1 \\ -2 \lt x-1 \lt 2 \\ -1 \lt x \lt 3$$

Si el límite encontrado anteriormente es $1$ el radio sería $R = \frac{1}{1} = 1$ Sin embargo, he encontrado que el intervalo es $(-1, 3)$ lo que implicaría $R = 2$ . ¿Dónde he cometido un error?

Answer 1

Obsérvese que una serie de potencias tiene la forma $$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$$ En su caso tiene $$a_n=\begin{cases}\frac{(-1)^n}{(2n-1)2^n}&n\ne0\\0&n=0\end{cases}\qquad x_0=1$$ Si calcula el límite que llama $N$ obtenemos $$N=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac12$$ Por tanto, el radio de convergencia es $R=1/N=2$ y por tanto el intervalo de convergencia es $$x\in(x_0-R,x_0+R)=(-1,3)$$ como se esperaba.

Answer 2

Para una serie de potencias $$ \sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n, $$ el radio de convergencia es $R = \frac1N,$ donde $$ N = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| $$ siempre que el límite exista y sea un número real. Otras fuentes dicen simplemente que el radio es $$ R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|, $$ que es equivalente excepto (discutiblemente) en el caso $N=0.$ Véase Prueba de relación y radio de convergencia .

Tenga en cuenta que $c_n$ no es un término de la serie; es sólo un coeficiente de un término de la serie. La dirección $n$ es el $a_n = c_n(z-a)^n.$

Si usted está buscando en un sitio que dice que el radio de convergencia es $\frac1N,$ lo más probable es que apliquen así la prueba de la proporción. (Otra posibilidad es que hayas encontrado una página con información errónea. Esas cosas existen en la red).

Ha definido $$a_n=\frac{(-1)^n(x-1)^n}{(2n-1)2^n},$$ así que $a_n$ no es $c_n$ en la expresión anterior. En su lugar, $a_n$ es función de $x$ y el límite $$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| $$ depende del valor de $x$ en el que se evalúa, como has mostrado en tus cálculos (que son correctos). Ese no es el límite de los coeficientes a partir del cual la gente obtiene el radio de convergencia en páginas como las que has descrito. No tendría sentido que el radio de convergencia fuera una función de $x.$

El uso del límite $$ N = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| $$ para hallar el radio de convergencia en realidad se basa en la prueba de razón general que se define para una serie general. Es decir, si se tiene una serie de potencias cuya $n$ es el $a_n = c_n(x-a)^n,$ entonces $$ \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}(x-a)^{n+1}}{c_n(x-a)^n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| \lvert x-a\rvert = N \lvert x-a\rvert, $$ donde $N \geq 0,$ siempre que los límites existan y sean números reales. Tenemos convergencia por la prueba de razón general cuando $N \lvert x - a\rvert < 1,$ que (si $N > 0$ ) es verdadera exactamente cuando $$ \lvert x - a\rvert < \frac1N. $$

Si tomamos el límite $N$ en la forma en que debe tomarse en uno de esos " $\frac1N$ páginas ", tenemos $$c_n=\frac{(-1)^n}{(2n-1)2^n}$$ (nota: todo lo que está en $a_n$ excepto el factor $(x-1)^n$ ) y por lo tanto $$ N = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = \frac12, $$ y el radio de convergencia es $\frac1N = 2.$

Esto concuerda con tus cálculos. Encontraste que el límite de tu relación de términos era $\left|\frac{-(x-1)}{2}\right|.$ La cosa es, $N$ se multiplica por $|x-a|,$ no por $\left|\frac{-(x-a)}{2}\right|.$ Pero si ves que $$ \left|\frac{-(x-1)}{2}\right| = |x-1|\times\frac12 $$ entonces ese factor $\frac12$ es tu $N.$

Alternativamente, podemos calcular $$ R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{(-1)^n}{(2n-1)2^n}\right)} {\left(\frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1)-1)2^{n+1}}\right)}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{-2(2n+1)}{2n-1}\right| = 2 $$ para obtener el radio de convergencia $R.$

Y luego, como $a = 1,$ de hecho el intervalo de convergencia es $$\left(a - \frac{1}{N}, a + \frac{1}{N}\right) = (a - R, a + R) = (1 - 2, 1 + 2) = (-1, 3).$$

Estás en lo cierto en tus propios cálculos, pero los estás comparando con otro conjunto de cálculos que se hacen de una forma ligeramente distinta, aunque se justifiquen por el mismo teorema y produzcan el mismo intervalo de convergencia.