Polinomios y Derivados

Question

Estoy haciendo un ejercicio y llegó a un punto donde yo tendría que saber esto:

Como consecuencia del teorema de Rolle, la derivada de una función tiene un cero cada vez que nuestra función tiene más de un cero. Pero, ¿podemos decir que si todas las raíces de un polinomio, $p(n)$, son reales, todas las raíces de $p'(n)$ son reales?

Answer 1

Sí. Supongamos que tenemos un polinomio $p(x)$ grado $d$, con todas las raíces reales (lo que significa que ha $d$ bienes raíces contando multiplicidad). Si $p(x)$ tiene una raíz de multiplicidad $m$ en algún punto de $x_0$, $p'(x)$ tiene una raíz de multiplicidad $m-1$$x_0$, como se puede ver mediante la aplicación de reglas producto: $$\frac{d}{dx}(x-r)^mq(x)=(x-r)^{m-1}(mq(x)+(x-r)q'(x))$$ También, entre cualquier par de las distintas raíces de $p(x)$ no debe ser una raíz de $p'(x)$ por el teorema de Rolle. Por lo tanto el número de raíces reales de $p'(x)$, contando multiplicidad, es el número de distintas raíces de $p(x)$ menos del 1 $m-1$ raíces para cada uno repite raíz de multiplicidad $m$, dando un total de $d-1$ (ya que el número de distintas raíces de $p(x)$ $m-1$ raíces para cada uno repite raíz de multiplicidad $m$ es el número total de raíces de $p(x)$ ,$d$). Este es el número total de raíces de $p'(x)$, por lo que todas sus raíces deben ser reales.

Answer 2

Si todos los ceros de $p$ encuentran en el intervalo de $[a,b]$, a continuación, todos los ceros de $p'$ mentira en $[a,b]$ por el de Gauss–Lucas teorema. Más generalmente, cada cero de $p'$ se encuentra en el casco convexo de un conjunto de ceros de $p$.

Answer 3

SUGERENCIA $\rm\ \qquad \ f\ =\ (x-r_1)^{n_1}\:\cdots\:(x-r_k)^{n_k},\qquad\qquad \rm r_1 < r_2 <\cdots < r_k \in \mathbb R$

$\rm\qquad\quad \Rightarrow\: \qquad f\:\:' =\: (x-r_1)^{n_1-1}\:\cdots\ (x-r_k)^{n_k-1}\: g\quad for\ some\ g\in \mathbb R[x] $

$\rm\qquad\quad \Rightarrow\ \ \ \#roots\ f\:\:' \ge\: (n_1\!\!-1)+\cdots+(n_k\!\!-1)\ +\ k\!-\!1\ \ \ by\ f\:\:'\ has\ root\ in\ (r_i,r_{i+1})\ by\ Rolle$

$\rm\phantom{\rm\ \qquad\quad \Rightarrow\ \ \#roots\ f'} \ge\: deg\ f - 1$

$\rm But\ also\:\:\ \ \#roots\ f\:\:' \le deg\ f - 1\ =\ deg\ f\:\:'\ $ desde $\rm\:\mathbb R\:$ es un dominio.