¿Está toda la aclimatación modelada por la Ley de enfriamiento de Newton?

Question

Tengo en mente cosas como el aprendizaje de idiomas (nativos o extranjeros) y el crecimiento hasta la edad adulta.

¿Es lo mismo aclimatación que saturación? ¿Puede considerarse la función logística como una versión invertida de la ley de enfriamiento de Newton?

Saludos,

Answer 1

Para la ley de enfriamiento de Newton, tienes un decaimiento exponencial, $y=A+Be^{-Cx}$ donde $A,B,C$ son parámetros que controlan la temperatura final, la temperatura inicial y la velocidad de enfriamiento. Satisface la ecuación diferencial $y'=-C(y-A)$ . Tenga en cuenta que si la temperatura inicial es inferior a la temperatura final, $B$ será negativo y tendremos la ley de Newton del calentamiento.

En cambio, las funciones logísticas son modificaciones de $\frac{1}{1+e^{-x}}=1-\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}$ . En $x$ se hace grande, tenemos $1\gg e^{-x}$ y así $e^{-x}/(1+e^{-x})\approx e^{-x}$ por lo que para $x$ la curva logística se parece mucho a un decaimiento exponencial traducido y reflejado. Sin embargo, éste es sólo el comportamiento a largo plazo.

En general, la curva logística es muy diferente del decaimiento exponencial. En particular, cuando $x\ll 0$ parece un crecimiento exponencial. De hecho, las curvas logísticas se han utilizado para modelizar el crecimiento de la población con una capacidad de carga. Si suponemos una población máxima posible de $M$ entonces un modelo para dicho crecimiento (que tiene como solución una curva logística) viene dado por la ecuación diferencial

$$ y'=\kappa y (M-y).$$

En $y$ es muy pequeño (en relación con $M$ ), esto es aproximadamente $y'=\kappa My$ . En $y$ es aproximadamente $M$ aproximadamente $y'=\kappa M (M-y)$ . La primera es la ecuación del crecimiento exponencial. La segunda es la ley de enfriamiento de Newton. Así pues, la curva logística interpola estos dos fenómenos diferentes.

Por desgracia, para el crecimiento de la población o el aprendizaje de modelos o una serie de otras aplicaciones, usted tiene que preocuparse por algo más que lo que sucede en los extremos, ya que el medio realmente importa. Por ejemplo, en el caso del aprendizaje (al igual que ocurre con el crecimiento limitado de la población), si no se sabe mucho, no se puede aprender mucho, y si se sabe casi todo lo que hay, no se puede aprender mucho, pero en algún punto intermedio hay un punto dulce, en el que se sabe lo suficiente para poder asimilar mucho (porque se tiene el contexto adecuado), mientras que, al mismo tiempo, quedan muchas cosas por aprender. Para modelizar el aprendizaje, hay que tener en cuenta estas tres fases cualitativamente diferentes, y no sólo la última.