Intento de demostrar la coherencia, pero obtengo probabilidades límite sin sentido

Question

Tengo

$$X_1 \dots X_n \sim f_\theta(x) = \begin{cases} \exp(\theta-x) & x\geq\theta\\ 0& otherwise \end{cases}$$

Y tengo el estimador $\hat\theta_n = X_{(1)}=\min\{X_1 \dots X_n\}$

He encontrado la CDF y PDF del estimador

$$F_{\hat\theta_n}(x) = 1-e^{n(\theta-x)}$$ $$f_{\hat\theta_n}(x) = ne^{n(\theta-x)}$$

Ahora quiero probar la consistencia así que para $\epsilon >0$

$$\lim_{n\to\infty}\Pr(|\hat\theta_n - \theta| < \epsilon) = 1$$

Entonces tenemos $$ \Pr(-\epsilon < \hat\theta_n - \theta < \epsilon)$$ $$ \Pr(\theta-\epsilon < \hat\theta_n < \theta + \epsilon)$$

$= 1-e^{-n\epsilon}-1+e^{n\epsilon}$

Que va a $+\infty$ como $n\to\infty$ . ¿Lo he hecho todo correctamente?

¿Qué concluyo de esto? ¿El estimador es coherente o no? ¿Es lo mismo que la probabilidad vaya a $1$ ?

EDITAR: I

$$F_{\hat\theta_n}(x) = 1-e^{n(\theta-x)} 1_{x \geq \theta}$$

Entonces se obtiene la probabilidad: $1-e^{-n\epsilon}$ que va a $1$ como se esperaba.

Answer 1

Puede ser más conveniente trabajar con $P(|\hat{\theta}_n - \theta| \geq \varepsilon)$ (la razón quedará clara a medida que avance el cálculo): \begin{align*} & P(|\hat{\theta}_n - \theta| \geq \varepsilon) \\ = & P(|X_{(1)} - \theta| \geq \varepsilon) = P(X_{(1)} - \theta \geq \varepsilon) \\ = & P(X_{(1)} \geq \theta + \varepsilon) \\ = & P(X_1 \geq \theta + \varepsilon, \ldots, X_n \geq \theta + \varepsilon) \\ = & P(X_1 \geq \theta + \varepsilon)^n \quad \text{by the i.i.d. assumption} \\ = & \left(\int_{\theta + \varepsilon}^\infty e^{\theta - x} dx \right)^n \\ = & e^{-n\varepsilon} \to 0 \end{align*} como $n \to \infty$ . Esto demuestra que $\hat{\theta}_n$ es una estimación coherente de $\theta$ .

Answer 2

Creo que tienes que escribir $\lim_{n\to\infty}\Pr(|\hat\theta_n - \theta| < \epsilon) =\lim_{n\to\infty}\Pr(\theta < \hat\theta_n < \theta + \epsilon)$ desde $\theta $ es el valor mínimo de $\hat{\theta}$ .

Entonces puedes demostrar que \begin{align*} \lim_{n\to\infty}\Pr(\theta < \hat\theta_n < \theta + \epsilon) &= lim_{n\to\infty}\left \{F_{\hat{\theta}}(\theta+\epsilon)-F_{\hat{\theta}}(\theta)\right \} \\&=lim_{n\to\infty}\left \{[1-e^{n[\theta-(\theta+\epsilon)]}]-[1-e^{n(\theta-\theta)}]\right \}\\&=lim_{n\to\infty}\left \{1-e^{-n\epsilon}-1+1\right\}\\&=1 \end{align*}