Dos cuestiones básicas sobre la teoría de conjuntos

Question

$1$ ¿Cuántos subconjuntos adecuados de $\{1,2,3,4,5,6,7\}$ contienen los números $1$ y $7$ ?

Consideremos $\{1,7\}$ como un único elemento, entonces el número de subconjuntos posibles es $2^6$ y, por tanto, el número de subconjuntos adecuados es $62$ .

$2$ . Una encuesta muestra que $63$ % de los estadounidenses les gusta el queso, mientras que $73$ % como manzanas.If $x$ % de los estadounidenses les gusta tanto el queso como las manzanas, entonces tenemos :

(A) $x \ge 39$ (B) $x \le 63$ (C) $39 \le x \le 63$ (D) Ninguna de ellas

si $a$ % y $b$ % como sólo queso y sólo manzanas entonces tenemos, $a + x + x + b = 100$ , $a + x = 63$ y $b + x = 63$ resolviendo obtenemos $x = 39%$ . Así que (D) es mi respuesta.

¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

1. No, los subconjuntos deben tener 1 y 7. Los otros cinco elementos son opcionales, pero no puedes tenerlos todos.

2. Usted tiene $a + b + x + \text{those who like neither cheese nor apples} =100%$ . No cuentes x dos veces al sumar al 100%. Pero tienes razón en que $a+x=63, b+x=39$

Answer 2

En el nº 1, estás contando más de la cuenta. Has pensado en {1,7} como un único elemento pero tu respuesta ha incluido la posibilidad de que no esté ahí. Piensa que estamos poniendo 1 y 7 a un lado. Ahora, para cada elemento restante, podemos incluirlo o excluirlo de un subconjunto. Si sigues sin ver cómo obtener la respuesta, te recomiendo la siguiente breve explicación de la principio de multiplicación

En cuanto al nº 2, tiene razón al pensar que cada persona debe pertenecer a uno de los cuatro grupos siguientes: personas a las que les gustan las manzanas y el queso, personas a las que sólo les gusta el queso, personas a las que sólo les gustan las manzanas y personas a las que no les gusta ninguno de los dos. Si piensa en la información que se le ha dado, debería ver un límite superior para x. Para un límite inferior para x, suponga que a todo el mundo le gusta o bien la manzana o bien el queso y utilice la fórmula principio de inclusión exclusión

Answer 3

1. Digamos que {1,7} es un único elemento, entonces el número total de subconjuntos posibles = $2^6$ Ahora, ¿cuántos subconjuntos entre estos no tienen {1,7} ? Será $2^5$ .

Por lo tanto, número de subconjuntos teniendo {1,7} es $2^6$ - $2^5$ = 32. Pero como has preguntado por el subconjunto adecuado, la respuesta sería 31.

Answer 4

1. crasic me ha quitado las palabras de la boca. Es lo mismo que el número de subconjuntos propios de {2, 3, 4, 5, 6}, es decir, 2^5 - 1 = 31.

2. Sólo al 63% le gusta el queso, por lo que no puede haber más de un 63% al que le gusten tanto el queso como las manzanas. Por tanto, B es correcta.

   Al 37% no le gusta el queso y al 27% no le gustan las manzanas (lo que personalmente me resulta difícil de imaginar). El límite inferior para x se encuentra en el caso de que estos dos conjuntos sean disjuntos: al 64% no le gusta el queso o no le gustan las manzanas, lo que deja un 36%.