Algunas cuestiones sobre el anillo Z((x))

Question

$\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}$ $\newcommand{\dim}{\text{dim }}$

Permítanme empezar disculpándome por la longitud de esta pregunta, pero pensé que podría ser interesante para algunos de ustedes. Este anillo no es exactamente artificioso y, sin embargo, parece algo misterioso.

Ésta es la continuación de una pregunta anterior ¿Cuál es el grupo fundamental etale de Spec Z((x))?

donde se demostró que $\ZZ((x)) := \mathbb{Z}[[x]][x^{-1}]$ no tiene extensiones etale no triviales, por lo que su grupo fundamental etale es trivial.

Por las fórmulas básicas sabemos que las unidades son precisamente las series laurentes cuyo coeficiente principal (es decir, primer coeficiente distinto de cero'') es una unidad en $\mathbb{Z}$ (es decir, es $\pm1$ ). Dado que $\mathbb{Z}$ es un PID, $\mathbb{Z}((x))$ es un dominio de factorización único.

Pregunta 1: ¿Existe una forma agradable de describir el campo de fracciones de $\mathbb{Z}((x))$ ?

Tenga en cuenta que para cualquier $f(x) = x^{-n}(a_0 + a_1x + a_2x^2+\cdots)\in\mathbb{Z}((x))$ tenemos $\frac{1}{f(x)}\in\mathbb{Z}[a_0^{-1}]((x))$ por lo que Frac $\mathbb{Z}((x))\ne \mathbb{Q}((x))$ (por ejemplo, $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\notin$ Frac $\mathbb{Z}((x))$ ). En cambio, una serie como $$\sum_{n\ge 0}\frac{x^n}{r^{2^n}}\in\mathbb{Z}[r^{-1}]((x))$$ no debería ser la inversa de nada en $\mathbb{Z}((x))$ ya que los denominadores crecen demasiado rápido, y la inversa de $f(x)$ descrito anteriormente tiene denominadores que crecen aproximadamente como $\frac{1}{r},\frac{1}{r^2},\frac{1}{r^3},\cdots$ .

Pregunta 2: ¿Cuál es la dimensión de $\mathbb{Z}((x))$ ?

Claramente $\dim\mathbb{Z} = 1$ y estoy bastante seguro de que $\dim\mathbb{Z}[[x]] = 2$ con todos los ideales primos de la forma $(0),(p)$ o $(p,x)$ . Por lo tanto, estoy igualmente bastante seguro de que $\dim\mathbb{Z}((x)) = 1$ de nuevo, pero no tengo una prueba (en parte debido al hecho de que las localizaciones de $\mathbb{Z}((x))$ parecen difíciles de describir).

Si uno cree que $\dim\mathbb{Z}((x)) = 1$ entonces, como es un UFD, también debe ser un PID. Una pregunta natural es:

Pregunta 3: ¿Son los anillos $\mathcal{O}_K((x))$ ¿Dominios Dedekind? ( $\mathcal{O}_K$ es el anillo de enteros de algún campo numérico $K$ ).

En fin, volvamos a $\ZZ((x))$ . Este anillo parece tener al menos dos tipos de ideales primos. Primos claramente racionales $p\in\mathbb{Z}$ dan ideales maximales con campos de residuos $\mathbb{F}_p((x))$ . Por otra parte, cualquier serie de potencias de la forma $f(x) = p + a_1x + a_2x^2 + \cdots$ para algún primo $p$ también es irreducible y, por tanto, primo (cualquier factorización debe incluir un factor de la forma $\pm 1 + b_1x + b_2x^2+\cdots$ que es una unidad), y no es equivalente a un primo racional $p$ así como $p\nmid f(x)$ . Si uno cree que $\dim\mathbb{Z}((x)) = 1$ también dan ideales maximales. Se puede demostrar que cualquier serie de potencias $a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots$ con $a_0$ divisible por al menos 2 primos es compuesto. Por otra parte, si $a_0 = p^2$ para que sea compuesto, en cuyo caso debe factorizarse como $(p + b_1x + \cdots)(p + c_1x + \cdots)$ es necesario pero no suficiente que $p\mid a_1$ .

Pregunta 4: Cuáles son los campos de residuos del formulario $\ZZ((x))/f(x)$ donde $f(x) = p^n + a_1x + a_2x^2 + \cdots$ ? (suponiendo $f$ es irreducible y $p\nmid f$ )

Un caso fácil es $f(x) = p - x$ en cuyo caso parece bastante claro que el campo cociente es $\mathbb{Q}_p$ . Otro ejemplo $p^2 - x$ en cuyo caso parece que el campo cociente es también $\mathbb{Q}_p$ . Por ahora, limitémonos al caso $n = 1$ Así que $f(x) = p + a_1x + a_2x^2 + \cdots$ .

Si $p\nmid f(x)$ entonces el campo de residuos debe ser de característica 0, por lo que debe ser una extensión de $\mathbb{Q}$ . Cabe preguntarse qué $x$ ¿mapa a? Desde $x$ es una unidad en $\ZZ((x))$ no puede corresponder a 0. Además, debe corresponder a algo tal que una serie de potencias arbitraria en $x$ tiene sentido, por lo que la imagen debe ser algún tipo de campo que sea completo respecto a una valoración no arquimediana, en la que $x$ se envía a algo de valoración positiva, y tal que $a_1x + a_2x^2 + \cdots = -p$ . Las únicas extensiones de $\mathbb{Q}$ que se me ocurren que se ajustan a esta descripción son $\mathbb{Q}((t))$ y $\mathbb{Q}_l$ . El primero no puede ser un campo de residuos, ya que $a_1x + a_2x^2 + \cdots \ne -p$ Supongamos que el campo de residuos es un $\mathbb{Q}_l$ . Desde $v(a_1x + a_2x^2 + \cdots) = v(a_1x) = v(-p)$ y $v(a_1x)\ge v(x) > 0$ , $v(-p) > 0$ Así que $l = p$ . Sólo con considerar $f(x) = p - x^n$ obtenemos todas las extensiones totalmente ramificadas de $\mathbb{Q}_p$ como campos de residuos.

Mi intuición me dice que los campos de residuos de $\ZZ((x))$ son $\mathbb{F}_p((x))$ o extensiones finitas de $\mathbb{Q}_p$ . Sin embargo, no me queda claro si se pueden obtener extensiones no ramificadas así como extensiones ramificadas, y no me queda claro por qué no puede haber otros campos completos raros que podrían aparecer.

Answer 1

Pregunta 1: El campo de fracción es el mismo que el de $\mathbb{Z}[[x]]$ . Se puede obtener invirtiendo todos los irreducibles. Los irreducibles del UFD $\mathbb{Z}[[x]]$ se describen en el teorema 1.4 de http://arxiv.org/abs/1107.4860

Pregunta 2: Te has perdido un montón de ideales primordiales de $\mathbb{Z}[[x]]$ . (En particular, sus primos de altura uno son principales (ya que es un UFD) y generados por una serie de potencias irreducible arbitraria (como se describe en la pregunta 1), y ninguno de ellos es maximal. Los ideales máximos son todos de altura dos y de la forma $(p,x)$ y se matan invirtiendo $x$ por lo que la dimensión de Krull de $\mathbb{Z}((x))$ es realmente $1$ (de ahí $\mathbb{Z}((x))$ es un PID).

Pregunta 3: Creo que el usuario74230 ha respondido correctamente.

Pregunta 4: Esto se responde con el Teorema 1.2 de http://arxiv.org/pdf/1107.4860v4.pdf En particular, los dominios integrales $\mathbb{Z}[[x]]/(f)$ para irreducible $f$ (además de $x$ y primos $p$ ) son precisamente $\mathbb{Z}_p[\alpha]$ para $\alpha$ en el único ideal maximal del cierre integral de $\mathbb{Z}_p$ en $\mathbb{C}_p$ (o equivalentemente para $\alpha$ en $\overline{\mathbb{Q}_p}$ con $p$ -valorización radical), donde $p$ es cualquier primo. Dado que $\alpha$ es la imagen de $x$ en estos isomorfismos y la localización conmuta con los anillos cocientes, la respuesta a tu pregunta son todos los campos de la forma $\mathbb{Q}_p(\alpha) = \mathbb{Z}_p[\alpha][\alpha^{-1}]$ donde $\alpha$ es el descrito anteriormente.