Pregunta sobre un problema de tasa de variación

Question

Estoy estudiando para un examen de cálculo y me encontré con un problema complicado en la guía de estudio. He comprobado dos y tres veces mis cálculos, pero mi respuesta no es la misma que en la clave de respuestas de la guía de estudio. Mi padre me recomendó que escribiera aquí para pedir ayuda. El problema es el siguiente:

Un fabricante de trajes de hombre descubre que el coste, en dólares, de producir x trajes viene dado por C(x) = 841 + 18(x) Hallar la tasa a la que a la que cambia el coste medio cuando se han producido 500 trajes. Redondea la respuesta a cuatro decimales.

Mi lógica que he comprobado repetidamente es la siguiente:

C(x) = 841 + 18(x) = 18x^(1/2) + 841 
C`(x) = 9x^(-1/2)   
C``(x) = (-9/2)x^(-3/2) = -9/(2x(x))
C``(500) = -0.000402492    -$0.0004/suit

La respuesta que estaba en la parte de atrás de la guía de estudio era -0,0042 $/traje

También he intentado encontrar C`(500), pero estoy bastante seguro de que no es la respuesta, ya que me dio una respuesta positiva, y también debido a la redacción del problema "tasa a la que el coste medio está cambiando"

¿Es posible que se trate de un error de redondeo del autor del problema o me estoy perdiendo algo? Gracias

Nota: Acabo de publicar esto en math overflow, pero me informaron en términos inequívocos de que este es el foro en el que tengo que publicar. Desde entonces he eliminado el post original en desbordamiento.

Answer 1

En coste total de $x$ es el que da la fórmula, pero hay que calcular el coste medio por traje. Llamemos a eso $A(x)$ .

$A(x) = \frac{C(x)}{x} = 841x^{-1} + 18x^{-\frac 12}$ .

$A'(x) = -841x^{-2} - \frac 12(18)x^{-\frac 32} = -841x^{-2} - 9x^{-\frac 32} $

$A'(500)= -(841)500^{-2} - 9(500)^{-\frac 32} \approx -0.0042$ que es la solución requerida.