¿Alguien podría enumerar (o proporcionar una referencia a) los espacios simétricos irreducibles no compactos simplemente conectados de rango $\ge 1$ (como cocientes de grupos de Lie $G/H$ )?
Agradecería cualquier ayuda.
Respuesta
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La referencia de la que aprendí las listas de $G/K$ de varios tipos es el libro de S. Helgason "Differential Geometry and Symmetric Spaces".
(Para mis propios fines matemáticos, los detalles explícitos sobre al menos los "grupos y dominios clásicos" son muy útiles, así que guardo estas cosas en mi cabeza). Posiblemente dejando de lado la referencia explícita a las isogenias anómalas y a los casos de borde, así como las argucias sobre convenciones notacionales...
Tipo A: $SL_n(\mathbb R)/SO(n,\mathbb R)$ , $SL_n(\mathbb C)/SU(n)$ , $SL_n(\mathbb H)/Sp^*(n)$ , $U(p,q)/U(p)\times U(q)$
Tipos B,D: $O(p,q,\mathbb R)/O(p)\times O(q)$ , $O(n,\mathbb C)/SO(n,\mathbb R)$ , $O^*_{2n}/U(n)$ .
Tipo C: $Sp_n(\mathbb C)/Sp^*n$ , $Sp_n(\mathbb R)/U(n)$ , $Sp^*_{p,q}/Sp^*_p\times Sp^*_q$ .
Los casos no muy conocidos son: $Sp^*_{p,q}$ es (modelado por) el grupo de matrices de cuaterniones que preservan una forma hermitiana de cuaterniones. Provablemente, éstas tienen firmas como el teorema de inercia de Sylvester para formas cuadráticas. Y $O^*_{2n}$ son matrices de cuaterniones que conservan una forma sesgo-hermitiana.
Obsérvese que en todos los casos los tres $\mathbb R$ -algebras $\mathbb R, \mathbb C, \mathbb H$ desempeñar papeles. De hecho, en el caso de los grupos clásicos ocurre algo totalmente paralelo sobre $p$ -y en otros casos, como en "Algebras with involutions and classical groups" de A. Weil, Indian (not Indiana) J. Math. 1960.
