Demuestre que el orden parcial del conjunto de potencias es una categoría cerrada cartesiana.

Question

Estoy tratando de empezar a aprender la teoría de las categorías. Un problema en el que estoy trabajando es demostrar que para un conjunto $S$ el orden parcial $(\mathcal{P}(S),\subseteq)$ visto como una categoría es cartesiano cerrado.

Hasta ahora, pensaba que $S$ es el objeto terminal, y que el producto de dos subconjuntos cualesquiera $A \times B$ siempre existe (el mayor límite inferior o intersección de $A$ y $B$ ), pero tengo problemas para completar la prueba demostrando que la categoría tiene exponenciación.

Si entiendo bien, el objetivo es demostrar que para cualquier $A$ y $B$ Hay un $C$ tal que $C \times A \to B$ (es decir, $(C \cap A) \subseteq B$ ) si y sólo si existe un $B^A$ tal que $C \subseteq B^A$ y $(B^A \cap A) \subseteq B$ . Pero entonces esto no parece del todo correcto.

Siento que sea una pregunta para principiantes. Apreciaría mucho cualquier ayuda que me indique la dirección correcta o tal vez que me aclare qué/cómo se puede hacer para demostrar que esta categoría tiene exponenciación - o qué hace " $B^A$ ¿" significa en términos de estos subconjuntos? ¿Lo construye alguna secuencia de operaciones?

Answer 1

Demostremos algo más fuerte: todo entramado completo infinito-distributivo es un álgebra de Heyting completa (y por tanto cartesiana cerrada como categoría).

Recordemos que una red completa es un orden parcial en el que todo se reúnen y se unen. El conjunto de potencias de un conjunto es ciertamente una red completa, y además satisface la ley distributiva infinita: $$\left( \bigcup_{i \in I} A_i \right) \cap B = \bigcup_{i \in I} (A_i \cap B)$$ Ahora la afirmación es que tal retículo completo tiene una operación de Heyting, es decir, una operación binaria $\to$ tal que $A \subseteq (B \to C)$ si y sólo si $A \cap B \subseteq C$ para todos $A$ . ¿Cómo lo hacemos? Apliquemos el pensamiento de los deseos. Supongamos que tenemos una $(B \to C)$ Entonces $(B \to C) \subseteq (B \to C)$ y en particular, $(B \to C)$ debe ser el más grande $A$ tal que $A \cap B \subseteq C$ . Por otro lado, estamos en un entramado completo, por lo que ciertamente podemos definir $$(B \to C) = \bigcup \{ A : A \cap B \subseteq C \}$$ y esto funciona: si $A \subseteq (B \to C)$ entonces $$A \cap B \subseteq (B \to C) \cap B = \left( \bigcup \{ A : A \cap B \subseteq C \} \right) \cap B = \bigcup \{ A \cap B : A \cap B \subseteq C \} \subseteq C$$ por la ley distributiva infinita; la inversa es automática por construcción de $(B \to C)$ .

Lo bueno de esta prueba es que es completamente constructiva y se puede interiorizar en cualquier topos. Pero en el entorno clásico, podemos ser un poco más explícitos sobre lo que $(B \to C)$ es: escribir $B^{\mathsf{c}}$ para el complemento de $B$ tenemos $(B \to C) = B^{\mathsf{c}} \cup C$ . Claramente, $(B^{\mathsf{c}} \cup C) \cap B = C \cap B \subseteq C$ Así que $(B^{\mathsf{c}} \cup C) \subseteq (B \to C)$ por otro lado, si $A \cap B \subseteq C$ entonces $B^{\mathsf{c}} \cup (A \cap B) \subseteq B^{\mathsf{c}} \cup C$ y claramente $$A = A \cap (B^{\mathsf{c}} \cup B) = (A \cap B^{\mathsf{c}}) \cup (A \cap B) \subseteq B^{\mathsf{c}} \cup (A \cap B)$$ así que $A \subseteq B^{\mathsf{c}} \cup C$ y por lo tanto $(B \to C) \subseteq B^{\mathsf{c}} \cup C$ según sea necesario. (Ejercicio: ¿Dónde he utilizado la ley del medio excluido en este argumento?)

Answer 2

Encontré esta pregunta en el libro de Pierce y he estado trabajando en ella hoy. Esto es lo que tengo:

El problema: El exponente $B^A$ tiene que ser un miembro del conjunto de poderes. Además, tiene que satisfacer las siguientes restricciones:

• Hay un mapa de $B^A \times A$ a $B$ .
  • en términos de conjuntos, $B^A \times A \subseteq B$
• Para todos los demás objetos de la serie de potencias $C$ tal que $g: C \times A \rightarrow B$ existe, necesitamos un mapa único de $C$ a $B$
  • de nuevo en términos de conjuntos, debemos demostrar que para todo $C$ tal que $C \times A \subseteq B$ la relación $C \subseteq B$ debe aguantar.

Solución: Si $B \subset A$ entonces $B^A = B$ . De lo contrario, $B^A = S$ (el último objeto de nuestra categoría de conjunto de potencias).

Justificación: Si $B \subset A$ entonces $B^A$ debe ser un subconjunto de $B$ para $B^A \times A \subseteq B$ para sostener. Deducimos que $B^A$ debe ser $B$ exactamente porque es la única opción que garantiza $C \subseteq B^A$ por cada $C$ tal que $C^A \times A \subseteq B$ .

Si $A \subseteq B$ entonces $B^A \times A \subseteq B$ se mantiene para cualquier elección de $B^A$ . Del mismo modo, podemos utilizar cualquier elemento del conjunto de potencias $C$ para satisfacer $C^A \times A \subseteq B$ . Por eso, $B^A$ tiene que ser todo el conjunto $S$ . Es la única opción que garantiza $C \subseteq B^A$ para cada elección válida de $C$ .

Answer 3

Por definición, el adjunto derecho $B^{A}$ debe satisfacer la equivalencia $$C\subset B^{A}\Leftrightarrow C\cap A\subset B$$ para todos $C\in \mathcal{P}(S)$ . En particular, esto debe ser así para todos los singletons $\{s\}$ . Por lo tanto, debemos tener $$s\in B^{A}\Leftrightarrow \{s\}\subset B^{A}\Leftrightarrow \{s\}\cap A\subset B.$$ Esta última inclusión es válida si y sólo si $s\in S\setminus A$ o $s\in B$ por lo que el objeto exponencial debe estar dado por $$B^{A}=B\cup (S\setminus A).$$