Demuestra que la expresión es un cuadrado perfecto

Question

Sea $m$ sea un número natural. Defina $f(m) = m + \lfloor\sqrt{m}\rfloor$ . Demostrar que al menos uno de los números entre $m, f(m), f^2(m), \ldots$ es un cuadrado perfecto. Aquí $f^k(m)$ denota la composición de $f$ sobre sí mismo $k$ veces.

He intentado la pregunta, pero el entero mayor junto con la raíz cuadrada está creando problemas.

Answer 1

Suponiendo $m$ no es un cuadrado perfecto, entonces $m=n^2+k$ donde $n^2$ es el mayor cuadrado perfecto menor que $m$ . Sin pérdida de generalidad, si $k>n$ podemos tomar $m_0=m-n$ y $k_0=k-n$ de lo contrario $m_0=m, k_0=k$ .

Entonces podemos ver que $f^2(m_0) = n^2+k_0+2n = (n+1)^2+(k_0-1)$ .

En $m_1=f^2(m_0)$ y $k_1=(k_0-1)$ podemos ver que el mismo proceso se aplica en relación con $(n+1)^2$ y así en un total de $2k_0$ aplicaciones de $f$ tendremos un cuadrado perfecto, $f^{2k_0}(m_0) = (n+k_0)^2$ .

---

Observación adicional : Tenga en cuenta que una vez que se encuentra un cuadrado, $s_0^2 = f^d(m)$ el mismo proceso puede aplicarse a $f^{d+1}(m) = s_0^2+s_0$ que dará otro cuadrado perfecto en $f^{d+1+2s_0}(m) = (2s_0)^2$ .

Por lo tanto, hay un número infinito de cuadrados perfectos en la secuencia dada, de la forma $(2^as_0)^2$ donde $a$ es un número entero no negativo. Esto también significa que hay como máximo un cuadrado impar en la secuencia, lo que sólo ocurre si $m_0$ es impar (o si $m$ es un cuadrado impar).

Answer 2

El caso en que $m$ es un cuadrado perfecto es trivial. Si no, hay un $k$ con $k^2 < m < (k+1)^2$ . Defina $r(m)= m - k^2$ y $s(m) = m - k - k^2$ . Demostramos que $r$ o $s$ disminuye monotónicamente con las aplicaciones de $f^2$ Eso es, $f$ aplicado dos veces.

Hay dos casos:

• Si $m + k < (k + 1)^2$ puis $f^2(m) = m + 2k = k^2 + r - 1 + 2k + 1 = (k+1)^2 + r(m) - 1$ . Así que el error es ahora $r(f^2(m)) = r(m) - 1$ .
• Si $m + k = (k+1)^2$ entonces hemos terminado, así que supongamos $m + k > (k+1)^2$ . Entonces $f^2(m) = m + 2k + 1 = s(m) +k + k^2 +2k + 1 = (s(m) - 1) + (k+1) + (k+1)^2$ . Así que el error es ahora $s(f^2(m)) = s(m) - 1$ . Desde $s$ disminuye en $1$ cada vez, al final conseguiremos que $s = 1$ y así aplicar $f$ de nuevo nos dará la siguiente plaza.