Teoremas de Liouville y Roth para números algebraicos complejos

Question

El teorema de Liouville dice que Si $\alpha$ es un número irracional que es la raíz de un polinomio $p$ de grado $d > 0$ con coeficientes enteros, entonces existe un número real $C > 0$ dependiendo sólo de $\alpha$ tal que, para todos los números enteros $p, q$ con $q > 0$ ,

$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right | > \frac{C}{q^d}$

¿Es esto válido para el caso en que $\alpha \in \mathbb{C}$ y $p/q \in \mathbb{Q}[i]$ ? ¿Puede alguien indicarme una referencia para una prueba o un contraejemplo? ¿Existe un resultado análogo para Teorema de Roth ¿también?

Answer 1

Ciertamente, esto es falso para la $\alpha\in\Bbb C$ El objetivo del teorema de Liouville es llegar a los números trascendentales, y hay muchos para los que no existe dicha constante. Tomemos cualquier Número de Liouville por ejemplo.

Si exige $\alpha$ ser algebraico--pero no necesariamente real--por supuesto, se puede extender fácilmente a $\Bbb Q(i)$ simplemente observando que $\alpha= x+iy, \,$ y ${p\over q}=a+bi$ puis

$$\left|\alpha-{p\over q}\right|=|(x-a)+i(y-b)|>|x-a|>Cq^{-d}.$$

En última instancia, la extensión a números algebraicos no reales carece de interés, ya que tanto la parte real como la imaginaria son algebraicas en sí mismas, lo que se ve fácilmente como

$$\begin{cases} \Re(\alpha)={1\over 2}(\alpha+\overline{\alpha}) \\ \Im(\alpha) ={1\over 2}(\alpha-\overline{\alpha})\end{cases}$$

y siempre tienes $|z|>|\Re(z)|$ para cualquier complejo $z$ .

Análogamente para el teorema de Roth, se utiliza de nuevo la desigualdad $|\Re(z)|<|z|$ para ver que si $\left|\alpha-{p\over q}\right|<C(\alpha,\epsilon)q^{-2-\epsilon}$ tiene solución, entonces también $\left|\Re(\alpha)-\Re\left({p\over q}\right)\right|<C(\alpha,\epsilon)q^{-2-\epsilon}$ y, por supuesto, el caso real muestra que sólo hay finitamente muchas cosas así. Usted puede objetar que tal vez hay infinitamente muchas partes imaginarias que trabajan con las partes reales finitamente muchos, pero por supuesto $|\Im(z)<|z|$ también es un hecho, por lo que este no es el caso.