Función meromórfica en la superficie de Riemann

Question

Tengo un ejercicio que no puedo resolver. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Sea $X, Y, Z$ sean coordenadas homogéneas sobre plano proyectivo complejo y sea $C=\{[X:Y:Z] |X^{4}+XY^{3}+Z^{4}=0\}$ . Consideremos la función meromorfa $f=\frac{X}{Y}$ definido en $C$ . 1) Calcule los ceros y polos de $f$ con sus órdenes;

2) Calcular los puntos de ramificación de $f$ con sus índices y el género de $C$ ;

3) Buscar en $C$ tres diferenciales holomorfas linealmente independientes

Answer 1

Para responder al punto 1) Los ceros se producen cuando $X$ es cero - en este caso estamos obligados por la ecuación definitoria a tener $Z=0$ y, por tanto, el único punto en el que $f$ tiene un cero es $[0:1:0]$ . Del mismo modo, tenemos un polo si $Y=0$ y en este caso estamos obligados a tener $X^4 = -Z^4$ que tiene varias soluciones sobre $\mathbb C$ . Encuéntralos y tendrás tus postes. Por último, observe que no podemos tener $X=Y=0$ ya que entonces también tendríamos $Z=0$ y $[0:0:0]$ no es un punto válido.