Encontrar la función de flujo a partir del potencial

Question

Tengo un potencial de velocidad (es decir, el gradiente de esta función da la velocidad) dado por :

$$\phi(x,y) = \frac{1}{\sqrt{(y-1)^2 + x^2}} + \frac{1}{\sqrt{(y+1)^2 + x^2}} + k x$$

donde $k$ = constante. Me gustaría encontrar la función de flujo correspondiente $\psi(x,y)$ para que $\psi(x,y)$ = constante en las líneas de corriente. Otra forma de expresarlo es decir , hallar $\psi(x,y)$ tal que :

$$\psi_x = \phi_y \text{ and } \psi_y = -\phi_x$$

donde los subíndices denotan la derivada parcial. ¿Hay alguna forma de hallar $\psi(x,y)$

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Aquí vas a tener problemas porque no se trata de un potencial de velocidad legítimo. El gradiente tiene singularidades (velocidades infinitas) en dos puntos del plano. Es evidente que este potencial no satisface la ecuación de Laplace.

Tendría un problema similar con la función

$$\phi(x,y) = \frac1{\sqrt{x^2+y^2}}$$

En coordenadas polares

$$\phi(r,\theta)= \frac1{r},\\ \nabla^2\phi=\frac1{r^3}\neq0.$$

Por lo tanto, no hay ningún punto en el plano en el que se cumpla la ecuación de continuidad, ya que

$$\nabla \cdot \mathbf{u}= \nabla^2\phi \neq 0.$$

No es posible encontrar $\psi$ mediante la integración indefinida

$$\psi(x,y) = -\int\phi_x\,dy+ A(x),\\\psi(x,y) = \int\phi_y\,dx+ B(y).$$