Escribe en coordenadas polares $x''-(1-x^2-(x')^2)x'+4x=0$ .

Question

Necesito determinar una solución periódica para : $x''-(1-x^2-(x')^2)x'+4x=0$ . Tenemos el sistema equivalente: $$\begin{cases} x'=y \\ y'=(1-x^2-y^2)y-4x. \end{cases}$$

1. Determinamos los puntos estacionarios del sistema equivalente: $(0,0)$ .

2. He visto que esta solución es inestable.

3. Pero ahora tengo que convertir este sistema en coordenadas polares. Por desgracia, he intentado en todas las posibilidades y no pude llevar el sistema a una forma hermosa en función de las coordenadas polares.

Les presento lo que he probado:

Coordenadas polares: $\begin{cases} x(r,\theta)=r\cos(\theta) \\ y(r,\theta)=r\sin(\theta) \end{cases}$

Tenemos que $x^2+y^2=r^2$ y $\tan(\theta)=\frac{y}{x}$ . Así que $r'=\frac{xx'+yy'}{r}$ y $\theta'=\frac{xy'-x'y}{r^2}.$ Así que $$r'=\frac{xy+y[(1-x^2-y^2)y-4x]}{r}=\frac{xy+y^2-x^2y^2-y^4-4xy}{r}.$$ He intentado calcular, pero no tengo ni idea de cómo llevar el sistema a coordenadas polares para continuar mi trabajo. Gracias.

Answer 1

Nota $$\theta'=\frac{(1-x^2-y^2)xy-4x^2-y^2}{r^2}=((1-r^2)\sin\theta-3\cos\theta)\cos\theta-1$$ y $$r'=\frac{xy+(1-x^2-y^2)y^2-4xy}r=-3r\sin\theta\cos\theta+(1-r^2)r\sin^2\theta$$ así que $$(\log r)'=((1-r^2)\sin\theta-3\cos\theta)\sin\theta.$$ Así $$\frac{(\log r)'}{\theta'+1}=\tan\theta.$$

Answer 2

El término medio actúa como fricción para $(x,x')$ fuera del círculo unitario y como antifricción dentro del círculo unitario. Esto significa que cualquier partícula que se mueva bajo esta dinámica se alejará del origen si está cerca de él, y hacia el círculo unitario si está lejos de él. Por tanto, la solución periódica estará próxima al círculo unitario.

La búsqueda numérica de una órbita periódica puede formularse como un problema de valor límite, teniendo el punto final de la integración igual al punto inicial. Para tener en cuenta el período desconocido, hay que trasladar todo el problema al intervalo constante $[0,1]$ mediante una transformación de parámetros.

En python/scipy esto se puede realizar de la siguiente manera

def odesys(t,u,p):
    x,v = u
    T, = p
    a = (1-x**2-v**2)*v-4*x
    return T*np.array([v,a])

def bc(u0, u1, p): return [u0[0], u1[0], u1[1]-u0[1]]

T = 2*np.pi
s = np.linspace(0,1,21);
u = [ np.sin(T*s), np.cos(T*s) ]

res = solve_bvp(odesys,bc,s,u,[T])
print(res.message, res.p)

s = np.linspace(0,1,301)
u = res.sol(s)
plt.plot(u[0],u[1],'b')
plt.plot(res.y[0],res.y[1],'xb')

Esto da el resultado