¿Interpretación geométrica del número de variables libres en la solución de un sistema lineal?

Question

¿Existe una consecuencia geométrica del número de variables libres en un sistema lineal resuelto y consistente representado como una matriz fila-echelón (utilizo la terminología fila-echelón sólo por una forma fácil de llegar al número de variables libres)? Es decir, si tenemos un sistema de ecuaciones con 1 solución y (por tanto, sin variables libres), nuestra solución es sólo un punto y existe en 0 dimensiones. Si, como otro ejemplo, tenemos dos rectas equivalentes (y, por tanto, una variable libre), tenemos infinitas soluciones, y el conjunto solución es, por supuesto, una recta.

Lo que me pregunto es si este patrón se generaliza: Si tenemos 2 variables libres en un sistema lineal consistente, de forma fila-echelón, ¿es nuestro conjunto solución un plano (2d)? Es evidente que este es el caso cuando podríamos tener 3 planos equivalentes, pero ¿qué pasa con el caso en que podríamos tener un sistema de 5 variables, 2 de los cuales son libres? ¿Sigue siendo un plano? Del mismo modo, si tenemos 3 variables libres en una matriz fila-echelón consistente, ¿es nuestro conjunto solución un plano 3d? (y etc...?)

Answer 1

Sí, precisamente. El número de variables que tiene (llámese $m$ ) le indica la dimensión del espacio vectorial en el que se encuentra. A medida que restringe más variables, el conjunto de soluciones posibles se reduce. Si tiene $n$ variables libres al final, entonces se trata de un $n$ superficie dimensional en su $m$ espacio dimensional. ( $n\le m$ siempre)

Así que cuando $n=2$ es decir, tiene $2$ variables libres, tendrás un plano de soluciones. Si, por ejemplo, $n=3$ , $m=5$ entonces usted tiene un $3D$ plano (denominado hiperplano) en un $5D$ espacio (sin embargo, no podemos visualizarlo).