Sé que $a\cos(ct)b\sin(ct)$ es la solución general de $f''(t)+c^{2}f(t)0$ donde $f$ es una función dos veces continuamente diferenciable en $\mathbb{R}$ ¿pero cómo podemos demostrar su unicidad? PS:No utilices El teorema general, por ejemplo, el teorema de existencia y unicidad.
Respuesta
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user47033
Puntos
6
Sea $f_1$ y $f_2$ sean 2 soluciones linealmente independientes de la ecuación: $f''(t) = -c^2.f(t)$ . También podemos escribir la ecuación en términos del operador laplaciano como: $\nabla ^2 {f} = -c^2.f$ . Consideremos ahora una región limitada por una curva $C$ . El valor de $f$ en algún momento $P \in C$ es $a$ . Desde $f_1, f_2$ son ambas soluciones, deben satisfacer la ecuación diferencial:
$\nabla ^2{f_1} = -c^2.f_1$ ..........1)
$\nabla ^2{f_2} = -c^2.f_2$ ..........2)
También, $f_1(P) = f_2(P) = a$ ...........3)
De 1 y 2, por sustracción obtenemos:
$\nabla ^2{f_1 - f_2} = -c^2.(f_1-f_2)$
Así, $g = f_1 - f_2$ también debe ser una solución. Es decir $g(P) = a$ también. Pero claramente, $g(P) = 0$ . Contradicción. Por lo tanto existe un solutiom único que satisface la ecuación diferencial y algún valor límite.
