No se entiende por qué un disco giratorio dentro de un campo magnético uniforme genera una diferencia de potencial

Question

Supongamos que tenemos un disco conductor de radio $R$ girando alrededor de su eje, con velocidad de rotación $\omega$ . Si alrededor del disco hay un campo magnético constante paralelo a su vector normal, aparece una tensión distinta de cero entre el centro y el borde del disco.

No entiendo cómo es posible: dado que $\mathcal{E}=-\frac d {dt}\iint_{\Sigma} B\cdot dS$ y puesto que (tomando $\Sigma$ = disco giratorio)

$$ \frac d {dt}\iint_{\Sigma} B\cdot dS=\frac d{dt}(\|B\|\ A) = 0 $$

Dónde $A=\pi R^2$ es el área del disco. De ello se deduce que $\mathcal E = 0$ (que es lo mismo que $V_{\text {border}}-V_{\text {center}}$ ¿verdad? Y así $V=0$ .

Creo que la respuesta debería ser $V= \|B\| \ A\ f$ con $f=\frac \omega {2\pi}$ pero no tengo ni idea de dónde viene esto, o por qué lo que hice da una respuesta incorrecta.

Además, ¿podría alguien ilustrar las diferencias entre $\mathcal E$ el CEM inducido, y $V$ ¿Aquí? Siempre parecen ser lo mismo...

Answer 1

Lo que ha dicho bjorne es correcto pero incompleto. El efecto no se debe al flujo.

Debido a la fuerza de Lorentz los electrones que se mueven a una distancia $r$ desde el centro con velocidad tangencial $v=r\omega $ (debido a la rotación del disco) experimentan una fuerza radial (haz el producto vectorial para verlo) $$F_L=er\omega B $$ donde B es el campo y $e $ la carga de los electrones.

Esto hace que los electrones se desplacen hacia la periferia y se cree una discontinuidad de carga (también porque dejan atrás su nuceli) que genera un campo eléctrico radial (es radial porque se debe a un gradiente radial de carga) $E(r)={dV\over dr} $ y, por tanto, una tensión $V (r) $ . El hecho de que $E={dV\over dr}$ se debe a la simetría del problema: todas las demás componentes del gradiente desaparecen, ya que el campo sólo varía en la componente radial.

En estado estacionario, el valor eléctrico ( $F_E=eE=e{dV\over dr} $ ) y las fuerzas de Lorentz se anulan ya que nada debería moverse en el equilibrio.

Así que $$er\omega B=e{dV\over dr} $$ y esto nos da una ecuación para el voltaje que cuando se integra nos lleva a: $$V(r)=B\omega {r^2 \over 2} $$ con respecto al centro del disco donde $V=0$ .

Entre el borde del disco la tensión es $$V (R)=B\omega { R^2 \over 2}$$

que es la misma fórmula que tú propones.

EDIT: Fíjate que en esta respuesta he estado despreciando la fuerza centrífuga $F_C=m_e\omega^2 r$ actuando sobre los electrones. Podemos añadirlo para demostrar que el efecto, el hecho de que surja una tensión, no es un efecto puramente magnético.

Una vez más, el truco consiste en decir que en el estado estacionario nada se mueve, por lo que la fuerza total debe ser cero. Es decir: $$e{dV\over dr} =er\omega B+m_e\omega^2 r$$ o mejor dicho $${dV\over dr} =\left(B+{m_e\over e}\omega\right)\omega r$$ que cuando se integran conducen a $$V(r)=\left(B+{m_e\over e}\omega\right)\omega {r^2\over 2}$$

Así, aunque $B=0$ seguimos teniendo tensión $V(R)={m_e\over e}\omega^2{R^2\over 2}$ a través del disco.

Sin embargo, observe que el efecto es pequeño, ya que para un electrón ${m_e\over e}\sim 10^{-11}$ (que por cierto es en principio medible desde este aparato).

Answer 2

Creo que la fórmula que estás utilizando es $\mathcal{E}=-d\Phi/dt$ donde $\Phi$ es el flujo magnético que atraviesa la espira conductora o, en tu caso, el material conductor. Sin el álgebra se puede decir que el disco está siempre en el mismo campo magnético, por lo que el flujo a través de él es inmutable. La fuerza electromotriz es entonces cero. La fuerza debe provenir de otra parte, no de la ley de inducción de Faraday.

La parte del electromagnetismo que explica este fenómeno es la fuerza de Lorentz. Una carga que se mueve con velocidad $v$ en un campo magnético $B$ actúa sobre él una fuerza por unidad de carga de $v\times B$ . De la puesta en marcha, $v$ es siempre tangente al disco y de magnitud $\omega r$ mientras que $B$ es siempre vertical, por lo que la fuerza será siempre radial. El disco conductor tiene núcleos cargados positivamente que están pegados a la red, pero los electrones sometidos a la fuerza se moverán e inducirán una corriente (como en una dinamo homopolar), o se "amontonarán" con una tensión entre diferentes radios del disco.

Rápidamente se alcanzará un estado estacionario en el que la fuerza de Lorentz se equilibra con el campo eléctrico, lo que nos permite calcular la tensión entre el centro y un punto de radio $R$ (incluido el borde),

$$ V(R) = -\int_0^R E \cdot dl = \int_0^R B\omega r\ dr = B\omega R^2/2 $$

Answer 3

Creo que en la pregunta original hay una confusión entre e.m.f. $\mathcal{E}$ y Tensión (electrostática) $V$ . Como otros han señalado, si pasa suficiente tiempo un campo eléctrico radial estático $\vec{\mathbf E}$ aparecerá debido a las fuerzas de Lorentz que actúan sobre los electrones conductores móviles, causadas por una separación de cargas en el disco. En este límite tenemos una situación electrostática, el campo $\vec{\mathbf E}$ puede considerarse el gradiente de un potencial y la diferencia de potencial es como se muestra arriba.

Sin embargo, si se cierra un circuito conectando un punto $P$ en la periferia del disco a su eje conductor a través de un hilo con resistencia $R$ entonces el radio $OP$ puede verse como un segmento móvil del circuito cerrado, y a medida que se mueve cambia el área del circuito a un ritmo $\frac{d A}{d t}=\frac{1}{2}\omega\, R^2$ (suponiendo que todo lo demás permanece en su sitio) y, por tanto, la tasa de flujo es efectivamente $$\mathcal{E}=-B\, \frac{d A}{d t}=-\frac{1}{2}\omega\, R^2B.$$ Esta f.e.m. inducirá una corriente $i= \mathcal{E}/R$ en el circuito (supongamos que el disco es un conductor perfecto) pero no podemos asociar un campo electrostático $\vec{\mathbf{E}}$ a cada punto del disco (ahora no hay separación de cargas), aunque se puede definir una tensión entre $P$ y $O$ como $V_{PO}=-\mathcal{E}$ por integración del campo eléctrico estacionario en el hilo.