Encuentra dos números cuya suma es 20 y el MCI es 24

Question

Con algunas conjeturas encontré que las respuestas eran 8 y 12.

Pero, ¿existe alguna fórmula general para ello?

Tened en cuenta que la pregunta está hecha a mi sobrino que está en 4º de primaria.

Answer 1

Teniendo en cuenta los conocimientos de 4º grado, diría que esta pregunta consiste en encontrar todos los factores de $24$ porque los dos números deben ser factores de $24$ o tendrían un mínimo común múltiplo diferente.

Así que la lista de los factores de $24$ obtenemos $1,2,3,4,6,8,12,24$ . Entonces es fácil ver qué dos suman $20$ aunque ciertamente se podría utilizar el ejercicio, si se quiere, para desarrollar algunas reglas más para los casos más difíciles, y en otro caso podría ser necesario tener un poco de cuidado para que el mínimo común múltiplo sea realmente $24$ .

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Otro enfoque: $\frac{20}{24} = \frac{5}{6}$ - podemos escribir $\frac{5}{6}$ como el suma de dos fracciones unitarias ? La respuesta es sí, $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ y los números que buscamos son $\frac{24}{2}=12$ y $\frac{24}{3}=8$

Answer 2

Un algoritmo general

Si $a+b = n$ y $\mathrm{lcm}(a,b) = c$ dejamos que $\gcd(a,b) = d$ para conseguir $$ab = cd\\ n = a+b$$ Resolver $b = n-a$ nos da $$a(n-a) = cd \\ \Leftrightarrow a^2-na + cd = 0 \\ \Leftrightarrow a = \frac n2 \pm \sqrt{\frac{n^2}4 - cd}$$ Así que incluso para $n$ debemos encontrar $d$ tal que $\frac{n^2}4 - cd$ es un cuadrado perfecto (ya que $c>0$ esto supondrá un número finito de posibilidades). El $\pm$ es irrelevante porque $b$ tomará el valor alternativo.
Si $n$ es impar, $n^2 - 4cd$ debe ser en cambio un cuadrado perfecto y obtenemos una fórmula análoga: $$a = \frac12 (n \pm \sqrt{n^2 - 4cd})$$

En ambos casos, $d$ puede oscilar entre $1$ y $\left\lfloor \frac{n^2}{4c} \right\rfloor$

Su caso permite así $1\le d\le \lfloor\frac{400}{96}\rfloor = 4$ y $100-24d$ debe ser un cuadrado perfecto. $d=4$ rinde $4 = 2^2$ así que $$a = 10 + \sqrt{4} = 12; \quad b = 10 - \sqrt4 = 8$$

Answer 3

Con un LCM de 24 uno de los números debe ser 8, ya que $2^3$ divide 24. No puede ser 16 ya que 16 no divide 24.

Answer 4

Quiere dos factores de $24$ que suman $20$ . Eso significa que un factor debe ser menor o igual a $10$ (es decir $20/2$ ), y el otro debe estar entre $10 $ y $20$ (inclusive) ya que es igual a la primera restada de $20$ .

El único factor de $24$ entre $10$ y $20$ inclusivo es $12$ . $20-12 = 8$ . $8$ es un factor.

Así que la solución es $8$ y $12$ .

Answer 5

Dejemos que $x$ y $y$ sean los números. Tenga en cuenta que $xy$ es el producto de la LMC y el gcd, por ejemplo, $d$ . Entonces: $$xy=24d$$ $$x+y=20$$

No sé si en 4º curso los alumnos deben ser capaces de resolver sistemas. Si es el caso, puedes escribir $$y=20-x$$ y luego $$x(20-x)=24d$$

Resolver $x$ para conseguir $$x=\frac{20\pm\sqrt{400-96d}}2=10\pm2\sqrt{25-6d}$$

Por lo tanto, $25-6d$ debe ser un cuadrado perfecto. Esto sólo ocurre si $d=4$ , lo que da como resultado $x=8$ o $x=12$ .

Esto no es una fórmula, pero facilita mucho la búsqueda.