¿Los conjuntos con un comportamiento asintótico similar al de los primos son necesariamente bases aditivas finitas?

Question

El conjunto de los primos $\mathbb{P}$ tiene muchas propiedades interesantes en la teoría aditiva de números y algunos de los problemas abiertos más famosos sobre $\mathbb{P}$ son las conocidas conjeturas fuerte y débil de Goldbach. La conjetura débil fue demostrada por Vinogradov para todos los números enteros suficientemente grandes. Además, Chen pudo demostrar que todo número entero par suficientemente grande es la suma de un primo y un semiprimo, que es un primo o un producto de dos primos.

El objetivo de esta pregunta es averiguar en qué medida estas propiedades aditivas de $\mathbb{P}$ resultan de las propiedades especiales (por ejemplo, multiplicativas) del conjunto de los números primos y en qué medida se basan simplemente en el número relativamente grande de números primos $\leq x$ .

La densidad de un conjunto parece tener un gran efecto sobre sus propiedades aditivas; por ejemplo, se puede definir la densidad de Schnirelmann (por supuesto, también hay muchas otras densidades) de un conjunto como $\sigma A=\displaystyle \inf_{n\in \mathbb{Z_+}} \frac{A(n)}{n}$ donde $A(n)$ es el número de elementos de $A$ que son $\leq n$ y Schnirelmann demostró que si $A$ es cualquier conjunto con $\sigma A>0$ existe un número entero positivo $k$ tal que $kA = \mathbb{Z}_+$ .

También si $A+B\neq {\mathbb{Z}}_+$ tenemos $\sigma (A+B)\geq \sigma A+\sigma B$ como demostró Mann. Está claro que si $1 \not \in A$ tenemos $\sigma A=0,$ sino cosiderando $B=A\cup \{1,2,..,N\}$ y utilizando el teorema de Schnirelmann, se podría demostrar que todos los números enteros suficientemente grandes pertenecen a $kA$ para $k$ suficientemente grande (para determinados conjuntos $A$ ). Utilizando su teorema y el tamiz de Brun, Schnirelmann demostró que todo número entero $>1$ es la suma de como máximo $C$ primos para alguna constante $C$ .

Por el teorema de los números primos, el conjunto de los primos que no son mayores que $x$ tiene tamaño $\pi(x) \sim li(x) \sim \frac{x}{\log x}$ donde $li(x)$ es la integral logarítmica. Por lo tanto, el conjunto de los primos es muy grande (en este sentido) si se compara, por ejemplo, con el perfecto $k$ -poderes. Si se asume la hipótesis de Riemann, el conjunto de los primos tampoco tiene espacios muy grandes, más precisamente, hay un primo en el intervalo $[x,x+\sqrt x \log x]$ para valores grandes de $x$ como demostró Schoenfeld bajo la hipótesis de Riemann. Por otra parte, el comportamiento de los primos parece ser localmente muy aleatorio, y por lo tanto se podría suponer que un conjunto con un número similar de elementos $\leq x$ y el mismo tamaño máximo de hueco sería una base aditiva finita para los enteros positivos mayores que alguna constante.

La pregunta es: dado un conjunto arbitrario $A\subset \mathbb{Z}_+$ con $A(x)>> \frac{x}{\log{x}}$ y la diferencia de elementos consecutivos $x,y\in A$ es $O(\sqrt x \log x)$ y para cada número entero positivo $n>1$ hay infinitos elementos de $A$ no divisible por $n$ (esta condición es para evitar $A$ de tener sólo números pares, por ejemplo), ¿se sabe que existe $k$ (que puede depender de $A$ ) tal que todo número entero positivo suficientemente grande es la suma de como máximo $k$ números de $A$ ? Si no es así, ¿hay algún contraejemplo conocido? En caso de contraejemplo, ¿podrían darse algunas condiciones que se cumplan para $\mathbb{P}$ pero que no caracterizan el conjunto de los primos se den de tal manera que la pregunta sea verdadera? En particular, ¿se cumple la afirmación para $A= \{\lfloor n\log n\rfloor, n \geq 2\}$ ?

Answer 1

Sea $A_n = \{a : a \equiv 1 \mod 2^n \mbox{ and } 2^{2^{n-1}} \leq a < 2^{2^{n}} - 2^{2^{n-1}}\}$ y que $\displaystyle A = \bigcup_{n=1}^\infty A_n$ .

Entonces, $A(x) >> \frac{x}{\log x}$ los tamaños de los huecos son $<< \sqrt{x}$ y $A$ contiene infinitos no múltiplos de $m$ para cada $m>1$ .

Sin embargo, $2^{2^n}$ no puede escribirse como una suma de menos de $n-\log_2 n$ elementos de $A$ . Para demostrar esto, supongamos lo contrario; digamos $2^{2^{n}} = a_1 + \cdots + a_k$ para $k < n-\log_2 n$ , $a_1 \leq \cdots \leq a_k$ , $a_i \in A$ . Sabemos que $a_k \in A_n$ porque si no, todos los $a_i < 2^{2^{n-1}}$ Entonces, sumando, $2^{2^n} < k \cdot 2^{2^{n-1}}$ lo que implica $2^{2^{n-1}} < n$ que es falso para positivo $n$ . Se aplica un argumento similar a cada una de las sumas parciales del $a_i$ de mayor a menor, para demostrar que $\displaystyle a_j \in \bigcup_{i=n-k+j}^n A_i$ . En particular, cada $a_j \equiv 1 \mod 2^{n-k+1}$ por lo que la suma $2^{2^n} \equiv k \mod 2^{n-k+1}$ . Así, $2^{n-k+1} \mid k$ en particular, $2^{n-k+1} \leq k$ . Utilizando el límite $k < n-\log_2 n$ en ambos lados, podemos deducir $2n < n-\log_2 n$ una contradicción.

Para una posible solución, yo asumiría que $A$ está bien distribuido módulo $m$ (para cada $m$ ) en un sentido apropiado. (Estoy siendo impreciso a propósito, y es posible que necesite algo bastante fuerte, como un análogo de Bombieri-Vinogradov ). Mucha suerte.

Answer 2

Esto es realmente un comentario más que una respuesta, pero es demasiado largo para el cuadro de comentarios.

El libro de Halberstam y Roth Secuencias (2ª edición, 1983) dice:

Por lo tanto, sería extremadamente valioso encontrar condiciones suficientes para garantizar que una secuencia $\mathscr B$ es una base, que son menos estrictas que la condición de [densidad de Schnirelmann $\ldots$ Desgraciadamente, los resultados conocidos en esta dirección son, hasta el momento, de naturaleza más bien negativa; por ejemplo, se ha demostrado [A. Stöhr, `Gelöste und ungelöste Fragen über Basen der natürlichen Zahlenreihe I,' J. reine angew. Math. 194 (1955) 40-65, $\S$ 7] que para secuencias $\mathscr B$ de densidad asintótica cero, un límite inferior para $B(n)$ (en términos de $n$ ) nunca podrá garantizar por sí sola que $\mathscr B$ es una base.

He echado un vistazo rápido al artículo de Stöhr y las secuencias de contraejemplo de Stöhr tienen grandes lagunas. Dado que estás excluyendo los huecos grandes por decreto, los resultados de Stöhr no responden directamente a tu pregunta, pero quizá sugieren que el tipo de resultado que buscas es difícil de demostrar.