Necesito ayuda con la demostración del siguiente teorema

Question

Teorema: Si $ord_{m}a=t$ entonces $ord_{m}a^n=t/(n,t)$

Pruebas: Sea $(n,t)=d$ . Entonces, como $a^t \equiv 1(mod\text{ } m)$ tenemos

$$(a^t)^{n/d}=(a^n)^{t/d} \equiv 1(mod\text{ } m)$$ ,

de modo que si $ord_{m}a^n = t'$ entonces $$t'|t/d$$

Pero de la congruencia $$(a^n)^t{'} \equiv 1(mod \text{ } m)$$

Tenemos $t|nt'$ por el teorema 4-3, o

$$t/d|{n/d}t'$$

Desde

$$(t/d,n/d)=1$$

obtenemos $$t/d|t'$$

Combinación de $t'|t/d$ y $t/d|t'$ tenemos $t'=t/d$

¿por qué necesitamos n/d en el primer enunciado y cómo se demuestra eso? $t'|t/d$

Answer 1

El argumento es esencialmente el siguiente (reorganizado y presentado bidireccionalmente)

$$ a^{nk}\equiv 1\iff t\mid nk\iff t\mid nk,tk\iff t\mid(nk,tk)=(n,t)k\iff t/(n,t)\mid k$$

La primera $\iff$ porque $\,t = {\rm\ ord}\, a,\,$ y el tercero sigue por el definición/propiedad universal del gcd y el ley distributiva gcd. También puedes utilizar lcm en lugar de gcd, es decir

$\quad\ \ a^{nk}\equiv 1\iff t\mid nk\iff n,t\mid nk\iff [n,t]\mid nk\iff [n,t]/n\mid k$

Ambos son equivalentes, ya que $\ [n,t]/n = t/(n,t),\ $ es decir $\ [n,t](n,t) = nt$ .

Observación $\ $ Obsérvese que la primera cadena de equivalencia implica que $\,a^n\,$ tiene orden $\,t/(n,t)\,$ ya que, por lo general, si $\ b^k = 1\iff j\mid k\ $ esto implica que $\,b\,$ tiene orden $\,j.\,$ En efecto, fijar $\,k=j\,$ implica $\,b^j=1\,$ y $\,j\,$ es el menos positivo $\,k\,$ con $\,b^k=1\,$ desde $\,j\,$ divide a todos los demás $\,k.\ $