Demostrar que el campo real $\mathbb R$ es un espacio vectorial de dimensiones infinitas sobre el campo de los números racionales $\mathbb Q$ .

Question

Lo hago de la siguiente manera. ¿Es correcto?

Establecer $S = \{1,\pi,\pi^2,\pi^3,...,\pi^n\}$ es LI sobre $\mathbb Q$

Supongamos que $a_0\times 1 + a_1\times\pi + ... a_n\times \pi^n = 0$ donde todos los a_i no son $0$ .

Entonces $\pi$ es una raíz de $a_0 + a_1x + ... + a_nx^n = 0$ lo cual es imposible ya que $\pi$ es un número trascendental.

Por lo tanto, S es LI. Por lo tanto $\mathbb R$ es de dimensión infinita sobre $\mathbb Q$ .

Answer 1

Un argumento mucho más sencillo sería utilizar el hecho de que los números reales forman un conjunto incontablemente infinito, mientras que los racionales forman un conjunto contable.

Compruebe que un espacio vectorial de dimensión contable sobre los racionales seguiría siendo un conjunto contable. Por lo tanto el conjunto de los números reales como espacio vectorial sobre los racionales es de incontable dimensión.

Answer 2

Me parece correcto, pero hay que corregir algunas cosas:

1. Usted dijo "Set $S=\{1,\pi,\dots,\pi^n\}$ es LI sobre $\mathbb Q$ " y luego has demostrado que es LI y esa es una mala forma de escribir las cosas. En lugar de eso puedes decir: "Set $S=\{1,\pi,\dots,\pi^n\}$ . Demostremos que $S$ es LI sobre $\mathbb Q$ ".

2. Para demostrar que $\mathbb R$ es de dimensión infinita sobre $\mathbb Q$ , utilizó la propiedad que:

   Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb F$ es de dimensión infinita si y sólo si existe una secuencia $v_1,v_2,\dots$ de vectores en $V$ tal que $\{v_1,\dots ,v_n\}$ es linealmente independiente para cada entero positivo $n$ .

   pero no hiciste hincapié en dicha secuencia. Podrías entonces elegir la notación $S_n$ para $S$ y después de tu demostración con polinomios dices "Por lo tanto $S_n$ es una secuencia de vectores en $\mathbb R$ que es LI para todos $n\in\mathbb N$ . Así $\mathbb R$ es de dimensión infinita sobre $\mathbb Q$ ".