¿Cuál es su idea acerca de esta conjetura?

Question

Suponemos que en una secuencia consecutiva de $n$ todos los números naturales mayores que $n$, existe al menos un número que no es divisible por ningún número primo menor o igual a $n/2$.

¿Se puede probar o refutar esto?

Answer 1

La conjetura es falsa. Este problema está directamente relacionado con encontrar grandes diferencias entre los números primos y los métodos de Erdos, Rankin y otros.

Definir el Jacobsthal función de $j(q)$ , la brecha más grande entre consecutivos de reducción de residuos modulo $q$, que es la brecha más grande entre los elementos que son relativamente primos a $q$. Tenga en cuenta que su conjetura es equivalente a preguntar si $$j\left(\prod_{p\leq n/2} p\right)\leq n$$ holds for all $n$. To see why, consider any sequence of $n$ consecutive numbers modulo $M=\prod_{p\leq n/2}p$. Then each of them will be divisible by some $p\leq n/2$ if and only if $j\left(\prod_{p\leq n/2}p\right)\geq$ n.

Esta función $j$ es directamente relacionados con las mejores cotas inferiores para el primer lagunas. De hecho, si $$j\left(\prod_{p\leq X}p\right)\geq f(X)$$ infinitely often, (where $f$ is a nice function, strictly increasing etc.) then $$\max_{p_{n+1}\leq x} p_{n+1}-p_n \geq f(\log x).$$ In a recent paper of Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, James Maynard, Terence Tao, they proved that $$j\left(\prod_{p\leq x} p\right)\gg \frac{x\log x \log \log \log x}{\log \log x},$$ y por lo tanto

$$\max_{p_n\leq X} p_{n+1}-p_n\gg \frac{\log X\log \log X \log \log \log \log X}{\log \log \log X}.$$ Hacemos la observación de que Erdos había puesto un $10000\$$ de premio en este resultado, la mayor cantidad que se establece para cualquier problema.

Si bien este resultado no desmentir su conjetura, no tenemos necesidad de utilizar de gran alcance, teoremas. Sólo necesitamos utilizar Lema 7.13 de Montgomery y Vaughn que los estados que $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{j\left(\prod_{p\leq n} p\right)}{n}=\infty.$$ Esto se ha demostrado con la primaria cribado de argumento, y el resultado fue originalmente dada por Westzynthius.

Answer 2

La conjetura es falsa.
Podemos cubrir la $O(n^2)$ números naturales utilizando los números primos que no exceda $n$.
Compruebe la función de Jacobsthal