Valores posicionales de los números

Question

Tengo números distintos de 3 cifras que, al multiplicarse por sí mismos, producen un número que termina en el mismo número de 3 cifras. Cuáles son los números distintos de 3 cifras que tienen esta propiedad? He intentado utilizar el concepto de valor posicional, pero no funciona.

Answer 1

Tenemos: $$ (100a+10b+c)^2\equiv 200ac+100b^2+20bc+c^2\pmod{1000} $$ Así que en primer lugar debemos tener $c^2\equiv c\pmod{10}$ : $$ \begin{align} \color{red}{0}^2&=\color{red}{0}\\ \color{red}{1}^2&=\color{red}{1}\\ 2^2&=4\\ 3^2&=9\\ 4^2&=16\\ \color{red}{5}^2&=2\color{red}{5}\\ \color{red}{6}^2&=3\color{red}{6}\\ 7^2&=49\\ 8^2&=64\\ 9^2&=81 \end{align} $$ Así que $c\in\{0,1,5,6\}$ . A continuación debemos dividirnos en casos.

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Supongamos que $c=0$ : Entonces el $10$ se convierte en $$ [0]_{100}=[10b]_{100} $$ que nunca es el caso.

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Supongamos que $c=1$ : Entonces el $10$ se convierte en $$ [20b]_{100}=[10b]_{100} $$ que nunca es el caso.

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Supongamos que $c=5$ : Entonces el $10$ se convierte en $$ [100b+20]_{100}=[10b]_{100} $$ lo que implica $b=2$ . Así, el $100$ 's places must satisfy $$ [1000a+600]_{1000}=[100a]_{1000} $$ lo que implica $a=6$ . Así $625$ es una solución.

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Supongamos que $c=6$ : Entonces el $10$ se convierte en $$ [120b+30]_{100}=[10b]_{100}\\ \iff\\ [10b+30]_{100}=0 $$ desde el $100$ de la $120$ desaparece módulo $100$ y $20b-10b=10b$ . Esto implica $b=7$ . Así, el $100$ 's places must satisfy $$ [1200a+5700]_{1000}=[100a]_{1000}\\ \iff\\ [100a+700]_{1000}=0 $$ lo que implica $a=3$ . Así $376$ es una solución.

Answer 2

Si generalizamos esto para encontrar $n$ -cifras cuyo cuadrado termine en la misma cifra $n$ dígitos como el número original, entonces buscamos soluciones a la ecuación

$x^2 = x \mod 10^n \Rightarrow x(x-1) = 0 \mod 10^n$

Si excluimos los casos triviales $x=0$ y $x=1$ entonces tenemos dos posibilidades:

(1) $x=0 \mod 5^n \text{ and } x=1 \mod 2^n$

(2) $x=0 \mod 2^n \text{ and } x=1 \mod 5^n$

El Teorema Chino del Resto nos dice que hay exactamente una solución $\mod 10^n$ para cada caso, aunque no garantiza que ambos tengan $n$ dígitos sin ceros a la izquierda. Por ejemplo, cuando $n=5$ tenemos

$90625 = 0 \mod 5^5 \text{ and } 90625 = 1 \mod 2^5$

$9376 = 0 \mod 2^5 \text{ and } 9376 = 1 \mod 5^5$

La simetría de los residuos mod $10^n$ también explica por qué la suma de las dos soluciones es $10^n+1$ .