Ecuación de una recta en el plano complejo.

Question

Supongamos que quiero hallar la ecuación de una recta que pasa por $z, z^\prime \in \Bbb C$ . Lo que voy a hacer es resolver $\Im (z) = m\Re (z) + c$ y $\Im(z^\prime) = m \Re(z^\prime) + c$ para $m$ y $c$ pero quiero resolver directamente en $zz_0 + \bar z \bar z_0 = c$ para $z_0$ y $c$ . ¿Es posible? Si es así, ¿cómo puedo hacerlo?

Answer 1

Realmente no hay diferencia en lo que intentas hacer entre el plano complejo y el $x$ - $y$ avión

Sea $z = \Re(z) + i \Im(z) = x_1 + iy_1 = (x_1, y_1)$

Sea $z' = \Re(z') + i \Im(z') = x_2 + iy_2 = (x_2, y_2)$

La ecuación de la recta es $(y - y_1) = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1} (x - x_1)$

O $y = mx + b$ donde $m = \frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ (la pendiente) y $b = y_1 - mx_1$ (el $y$ interceptar).

Por tanto, la ecuación de la recta es sencilla $\frac {\Im(w) - \Im(z)}{\Re(w) - \Re(z)} = \frac {\Im(z') - \Im(z)}{\Re(z') - \Re(z)}$

(o cualquier otra forma equivalente de escribirlo).

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Quizás una forma más "madura" de hacerlo sea expresarlo en términos de una variable $t$ donde $f(0) = z$ y $f(1) = z'$ entonces $f(t) = t(z'-z)+ z$ .

La idea es: $$\begin{align*}f(t) &= t \cdot (\text{distance traveled in a time unit}) + \text{starting point} \\\\ &= t \cdot (\text{ending point} - \text{starting point}) + \text{starting point} \\\\ &= t \cdot (z' - z) + z. \end{align*}$$

Answer 2

Tendría que expresar $z$ paramétricamente. Por ejemplo, para encontrar una línea que pase por $z_1,z_2$ se podría decir

$$z=z_1+(z_2-z_1)~t$$

En $t=0, z=z_1$ y cuando $t=1, z=z_2$ . Y, por supuesto, puede tener $t\lt0$ y $t \gt1$ . $t$ ni siquiera tiene que ser lineal, por ejemplo, $z=z_1+(z_2-z_1)~\cos t$ también dará una línea recta.