Diagramas de Feynman en la teoría de Yukawa

Question

Estoy tratando de encontrar el mejor método para encontrar los diagramas de Feynman que aparecen en la teoría de Yukawa $L_{int} = -y \bar{\psi} \psi \phi $ en la función Greens de 4 puntos $g^{(4)}$ con campos escalares externos hasta $O(y^4)$ .

¿Existe algún método mejor o más rápido que calcular la función generadora? $Z[J,\eta,\bar{\eta}]$ y luego diferenciar el funcional 4 veces y poner las fuentes a cero? En otras palabras,

$$g^{(4)} = \frac{\delta Z[J,\eta,\bar{\eta}]}{i \delta J \, i \delta \eta \, i \delta \bar{\eta} } \bigg| _{J=\eta=\bar{\eta}=0}$$ con $$Z[J,\eta,\bar{\eta}]= \Omega \, exp\left( \,i \int d^4x \,(-y) \left(-\frac{\delta}{i \delta \eta(x) } \right) \left(\frac{\delta}{i \delta \bar{\eta}(x) } \right)\left(\frac{\delta}{i \delta J(x) } \right) \,\right) Z_0[J,\eta,\bar{\eta}]$$ y $$Z_0[J,\eta,\bar{\eta}] = exp\left( \int d^4z\int d^4z'\left[ \frac{i}{2}J(z)i\Delta_F(z-z')iJ(z') + i\bar{\eta}(z)iS_F(z-z')i\eta(z') \right] \right)$$ avec $\Omega$ que es la constante de normalización.

Entonces, ¿hay alguna manera de adivinar los diagramas sin pasar por este cálculo?

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Answer 1

En el momento en que tienes las reglas de Feynman ya no necesitas considerar el funcional generador. Ahora es más bien un problema combinatorio. En tu caso, para encontrar los diagramas de $\phi \phi \to \phi \phi$ por encargo $O(y^4)$ tienes que encontrar todas las formas posibles de conectar las cuatro $\phi$ líneas externas con los cuatro vértices. Ignorando las burbujas de vacío (los diagramas desconectados) se obtiene la amplitud de dispersión en el orden $O(y^4)$ .