¿Alguien tiene ejemplos concretos de $AW^*$ ¿Álgebra? Wiki da varias caracterizaciones, pero me gustaría tener algunos ejemplos. En particular, me pregunto sobre $\ell^{\infty}$ en el caso real y complejo. Wiki afirma que un $C^*$ álgebra es $AW^*$ si su espectro es extremadamente desconectado. En el caso conmutativo, esto dice que el dual de Gelfand es extremadamente desconectado, lo que creo que es falso para complejos pequeños l infinito?
Respuesta
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Cualquier álgebra de von Neumann es una AW $^*$ -álgebra. Así, en particular $\ell^\infty(\mathbb N)$ es un AW $^*$ -álgebra. Su espectro es $\beta\mathbb N$ la compactación Stone-Cech de $\mathbb N$ que está, de hecho, extremadamente desconectada.
Para obtener ejemplos no von Neumann es necesario obtener C $^*$ -algebras con pocos o ningún estado normal. El ejemplo prototípico es el Álgebra de Dixmier; es el álgebra que se obtiene tomando el cociente de las funciones acotadas de Borel sobre $[0,1]$ por el ideal de funciones que son cero fuera de un conjunto exiguo. Tensando esto con factores von Neumann se puede obtener AW no von Neumann $^*$ -de cualquier tipo.
