Las funciones monótonas satisfacen las EDO autónomas

Question

Se trata de una continuación de ¿Qué funciones suaves son soluciones de una EDO autónoma? .

Dada una función $y : \mathbb R \to \mathbb R \in C^1$ ¿existe una función continua $f : \operatorname{Im} y\to \mathbb R$ avec $\dot y = f(y)$ ?.

Si $f$ es estrictamente monótona, entonces la respuesta es "sí", ya que $y$ es invertible, por lo que podemos tomar $f := \dot y \circ y^{-1}$ .

Lo que no entiendo es por qué esto es cierto si quitamos la parte "estrictamente" como se menciona implícitamente en la pregunta enlazada (supuestamente es fácil de ver). Está claro que hay funciones no estrictamente monótonas que satisfacen esto: basta considerar cualquier función constante $y$ y tomar $f = 0$ .

¿Cómo puedo demostrar la existencia de $f$ para monótono $y$ ?

Answer 1

Digamos que $y$ es no decreciente, por definición. Entonces $y(t_1) \le y(t_2)$ siempre que $t_1 < t_2$ y si $y(t_1)=y(t_2)$ entonces $y(t)$ debe tomar ese valor en todo el intervalo $[t_1,t_2]$ en cuyo caso $\dot y(t)=0$ en $[t_1,t_2]$ (incluidos los puntos finales, ya que $y$ se supuso que era diferenciable en todas las $\mathbb{R}$ ). Así, para cualquier valor $C$ que se toma una sola vez, digamos $y(t_0)=C$ dejamos que $f(C)=\dot y(t_0)$ y para cualquier valor $C$ que se toma en un intervalo adecuado, dejamos que $f(C)=0$ . Desde $\dot{y}$ es continua por hipótesis, también lo es $f$ . (Por ejemplo, $f$ toma valores próximos a cero cuando $t$ está cerca de un intervalo en el que $y$ es constante, por lo que $f$ es continua en $C=0$ .)