¿Cómo sé si el álgebra básica funciona?

Question

Puede que esta sea una pregunta muy tonta, pero llevaba tiempo queriendo hacerla así que allá va. He estado repasando matemáticas básicas de bachillerato como preparación para el análisis, y me encuentro cuestionándome muchas cosas -especialmente álgebra básica- hasta el punto de que me estoy volviendo un poco loco.

Por ejemplo, las coordenadas polares pueden relacionarse con las coordenadas rectangulares del siguiente modo: $x=r \cos\theta$ , $y=r \sin\theta$ . Así que.., $x^2+y^2=1$ puede reescribirse como $r^2=1$ Así que $r=1$ . Y seguramente, es el mismo gráfico. ¿Pero por qué funciona esto? Sé que algebraicamente tiene sentido, pero me parece un poco impar. Supongo que una versión más amplia de esta pregunta es: me han enseñado que si algo es algebraicamente derivado/verdadero, debe producir la respuesta correcta. Pero cómo sé eso aparte de decir: "si rompió cero reglas algebraicas, se sostiene". La manipulación de estas variables es simplemente impar para mí. Tal vez este sentimiento pasará.

Otro ejemplo:

$$\iint 1-x^2-y^2\,dx\,dy = \iint 1-r^2\,rdr\,d\theta$$

Esto se cumple algebraicamente ya que $x^2+y^2=r^2$ ¿pero cómo sé que funciona aparte de decir "el álgebra funciona"?

Definitivamente le estoy dando demasiadas vueltas a esto, pero no deja de darme la lata.

Answer 1

Sé cómo te sientes, pero recuerda que todos los que aprendemos matemáticas nos hemos encontrado con conceptos difíciles de entender. Yo diría que si no estás seguro de si tu razonamiento es correcto, no es porque no entiendas lo que está pasando (aunque tu demostración pueda ser correcta "por accidente"). Esta sensación pasará a medida que manipules los conceptos y hagas ejercicios, ganarás una intuición de lo que está pasando y sabrás si tu demostración es correcta. Por ejemplo, la fórmula $$\iint(1-x^2-y^2)dxdy=\iint (1-r^2)rdrd\vartheta$$ es un caso particular de $$\iint f(x,y)dxdy=\iint f(r\cos\vartheta,r\sin\vartheta)r dr d\vartheta$$ Se trata simplemente de un cambio de coordenadas cartesianas a coordenadas polares, $dxdy$ siendo el cambio a $rdrd\vartheta$ (puedes echar un vistazo a los libros de física con dibujos para entender por qué funciona). De todos modos, el principal consejo que te daría es: deja que el tiempo haga su trabajo y haz tus ejercicios.