¿Por qué el holomorfo de un grupo $G$ un grupo de transformaciones de $G$ ?

Question

Estoy leyendo una definición del holomorfo de un grupo $G$ donde se define como $G_L\operatorname{Aut}(G)$ donde $G_L$ es el grupo de traslaciones a la izquierda de $G$ es decir, los mapas de forma $a_L(g)=ag$ para $a,g\in G$ .

Supongo $G_L\operatorname{Aut}(G)$ es la notación para todas las permutaciones de $G$ de forma $a_L\circ \varphi$ para $a_L\in G_L$ y $\varphi$ un automorfismo de $G$ . ¿Por qué $G_L\operatorname{Aut}(G)$ ¿un grupo? Está claro que contiene $\mathrm{id}$ pero no veo por qué es cerrado bajo composición, ni por qué contiene inversos.

Me di cuenta de que $\varphi a_L\varphi^{-1}=\varphi(a)_L$ y así $\varphi^{-1}=a^{-1}_L\varphi^{-1}\varphi(a)_L$ en cuyo caso $$ (a_L\varphi)^{-1}=\varphi^{-1}a^{-1}_L=a^{-1}_L\varphi^{-1}\varphi(a)_La^{-1}_L $$ que casi parece que está en $G_L\operatorname{Aut}(G)$ . Gracias.

Fuente: Esta es una breve parte de la pregunta 7 de la página 63 de Álgebra Básica de Jacobson.

Answer 1

Como te has dado cuenta, $\varphi \circ a_L = \varphi(a)_L \circ \varphi$ para cualquier $a \in G$ y el automorfismo $\varphi$ . Por lo tanto $(a_L \circ \varphi)(b_L \circ \psi) = (a \varphi(b))_L \circ \varphi \psi$ . Como composición de transformaciones, este producto es asociativo. La inversa de $a_L \circ \varphi$ es $\varphi^{-1} \circ a^{-1}_L = \varphi^{-1}(a^{-1})_L \circ \varphi^{-1}$ .