Resolución de una matriz Y

Question

Sea $X$ sea una matriz definida positiva y supongamos que tenemos la expresión $X = Y - Y^{-1}$ para una matriz definida positiva $Y$ . ¿Puedo resolver esta expresión para $Y$ en términos de $X$ ?

Answer 1

$X=Y-Y^{-1}$ implica $XY=YX$ Por lo tanto $X$ y $Y$ son simultáneamente diagonalizables. Por lo tanto - después de cambiar a una base adecuada - sólo hay que resolver las ecuaciones $x_i = y_i-y_i^{-1}$ donde $x_i,y_i$ son los valores propios de $X$ y $Y$ respectivamente.

Esto le proporciona $y_i=\frac{x_i}{2} + \sqrt{\frac{x_i^2}{4}+1}$ (La otra solución no te da una matriz definida positiva), que por supuesto es lo mismo que te dijo @Math-fun.

Answer 2

Utilizaremos el acrónimo s.p.d. para "simétrico positivo definido".

Transformemos la ecuación en

$$Y^2-XY-I=0 \ \ (*)$$

Si nos atrevemos a considerar (*) como ecuación matricial de segundo grado en variable $Y$ , candidatos a su arraigo (ahora no decimos que somos rigurosos; el rigor es para después...) son:

$$Y_1=\frac{1}{2}(X-(X^2+4I)^{1/2}) \ \ \text{and} \ \ Y=\frac{1}{2}(X+(X^2+4I)^{1/2})$$

Estos escritos son "legales" porque

• $M=X^2+4I$ es un d.p.s.; para demostrarlo, necesitamos 2 hechos sobre los d.p.s.: a) el producto de 2 d.p.s. es un d.p.s., por lo que el cuadrado de un d.p.s. es un d.p.s. b) un desplazamiento positivo por $4I$ preserva el hecho de que la matriz es simétrica; además, el espectro, al estar "desplazado a la derecha" sigue siendo $>0$ .

• Por lo tanto, tiene sentido tomar $M^{1/2}$ la raíz cuadrada de un d.p.s. es un concepto bien definido ( $M=Q \Delta Q^{-1} \ \Rightarrow \ M^{1/2}:=Q\Delta^{1/2}Q^{-1}$ ).

Ahora basta con comprobar que nuestro "trabajo por analogía" es bueno y, efectivamente, enchufando $Y=Y_1$ o $Y=Y_2$ en (*) da una identidad.

Edición: (Había pasado por alto que pedías soluciones s.p.d.)

Ahora que hemos encontrado soluciones, ¿son s.p.d.?

Sólo $Y_2$ es s.p.d. De hecho es el único con espectro positivo:

Si $X=PDP^{-1}$ basta con escribir $Y$ bajo la forma

$$Y=\dfrac{1}{2}(PDP^{-1}+P\Delta^{1/2}P^{-1})=\dfrac{1}{2}P(D+\Delta^{1/2})P^{-1}=\cdots=PEP^{-1} \ \ (1)$$

con $E=diag(\dfrac{1}{2}(\lambda_k+\sqrt{\lambda_k^2+4}))$ para comprobar que todos los valores propios son positivos

(lo que no ocurre si anteponemos un signo menos al símbolo de la raíz cuadrada).

He aquí un programa Matlab que ilustra el cálculo de $Y_2$ :

R=rand(3); X=R'*R; Y=0.5*(X+sqrtm(X*X+4*eye(3))); X Y-inv(Y),% the same as X

Answer 3

Su ecuación equivale a $$Y^2-XY=I$$ o $$(Y-\frac12X)^2=I+\frac14X^2$$ tenga en cuenta que $XY=YX$ .