¿Cómo encontrar las restricciones adecuadas en una transformación canónica?

Question

Tengo un Hamiltoniano 1-dof en las variables $p,q$ . No estoy seguro de cómo encontrar las restricciones en una tansformación canónica $\psi(P,Q)=(p,q)$ tal que el Hamiltoniano en las nuevas variables $P$ y $Q$ tiene la forma \begin{equation} H\circ\psi\ (P,Q) = K(P,Q) = \alpha(P)+\beta(Q) \end{equation} para algunas funciones (desconocidas) $\alpha$ y $\beta$ .

En la práctica, me gustaría "separar" las variables $P$ y $Q$ . Aparte de ver que $\dot{Q}=\alpha'$ y $\dot{P}=-\beta'$ Me enredo con las derivadas parciales. ¿Alguna pista?

Answer 1

En principio, se puede elegir el kamiltoniano $K=\alpha(P)$ en función de los nuevos momentos $P_i$ sólo, es decir, $\beta\equiv 0$ resolviendo el problema Ecuación de Hamilton-Jacobi para la función característica de Hamilton $W$ que (para un $2n$ -) es un espacio de fase EDP no lineal de primer orden en $n$ variables. Por supuesto, en la práctica es más fácil decirlo que hacerlo.