Pruebas: Medida invariante del ángulo - mismo resultado para cualquier circunferencia dibujada.

Question

A continuación he citado Wikipedia .

Me interesa especialmente la afirmación

El valor de $\theta$ así definida es independiente del tamaño del círculo: si se modifica la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación $\frac{s}{r}$ es inalterada.

Es decir, para cualquier círculo trazado con un par de compases, centrado en el vértice, el arco que se extiende desde la semirrecta inicial hasta la semirrecta final tiene longitud $s=r\theta$ que cumple la ecuación $\theta=\frac{s}{r}$ .

Esta afirmación es fundamental, ya que afirma que no importa cómo tracemos un círculo para medir el ángulo, siempre obtenemos exactamente la misma respuesta $\theta$ .

No basta con demostrarlo diciendo: el radián se define $\theta=\frac{s}{r}$ . Esto no pas demostrar que para cualquier círculo dibujado la relación es la indicada.

Consulte la imagen siguiente:

Cita Wikipedia :

Para medir un ángulo $\theta$ se traza un arco de círculo centrado en el vértice del ángulo, por ejemplo, con un par de compases. La longitud del arco $s$ se divide por el radio del arco $r$ y posiblemente multiplicado por una constante de escala k (que depende de las unidades de medida que se elijan):

$\theta = k \frac{s}{r}$ .

El valor de $\theta$ así definida es independiente del tamaño del círculo: si se modifica la longitud del radio, la longitud del arco cambia en la misma proporción, por lo que la relación $\frac{s}{r}$ no se altera.

Answer 1

La prueba se basa en una cuidadosa definición de longitud es. La noción de longitud es extremadamente sutil, ya que es sensible a pequeños cambios locales (dos curvas pueden estar muy cerca la una de la otra, pero tener longitudes radicalmente diferentes). En una variedad general, la noción de longitud depende de una estructura métrica. La situación que describes tiene lugar en $\mathbb R^2$ visto como un espacio euclidiano. Así, la longitud de una curva $\gamma:[a,b]\to \mathbb R^2$ viene dada por $\int_a^b\sqrt vdt$ donde $v(t)=\gamma_1'(t)^2+\gamma_2'(t)^2$ .

Ahora, una parametrización de un círculo viene dada por $\gamma:[0,2\pi]\to \mathbb R^2$ con $\gamma(t)=(p_1+r\cdot \cos(t),p_2+r\cdot \sin(t))$ , $r>0$ . Esto traza un círculo de radio $r$ con centro el punto $(p_1,p_2)$ . Ahora resulta sencillo utilizar la fórmula anterior para cualquier arco de dicho círculo y ver que al cambiar $r$ conduce a un cambio proporcional en la longitud del arco.

Answer 2

Como todo este concepto es tan elemental, es difícil ver qué suposiciones, definiciones, axiomas o intuiciones quieres aceptar de entrada, sobre las que se pueda basar un argumento. No obstante, intentaré dos enfoques.

Tanto el radio como la longitud de arco son medidas de longitud. Como la geometría euclidiana sólo tiene medidas de longitud relativas, se pueden comparar entre sí o con una longitud fija. Lo primero da lugar al radián, mientras que lo segundo da lugar a las unidades de longitud. Si mides el mismo círculo utilizando centímetros en lugar de pulgadas como unidad de longitud, puedes estar seguro de que el cociente entre las dos longitudes seguirá siendo el mismo, ya que las unidades deben anularse.

Alternativamente, podrías imaginar tu situación escalada uniformemente por un factor fijo. Se trata de una transformación de similitud. Todos los ángulos se mantendrían, todas las longitudes se escalarían por el mismo factor y, para las fracciones de longitud, el factor de escala se anularía de nuevo. Por lo tanto, la relación tiene que seguir siendo la misma.