Si $p:E\to B$ es una cubierta de espacio y $p^{-1}(x)$ es finita para todas las $x \in B$, muestran que $E$ es compacto y Hausdorff iff $B$ es compacto y Hausdorff

Question

Puedo demostrar que si $E$ es compacto y Hausdorff $B$ tiene las mismas propiedades, también puedo mostrar que si $B$ es compacto y Hausdorff $E$ es Hausdorff, pero tengo problemas tratando de demostrar que $E$ es también compacto. Cualquier sugerencia se agradece.

Me gustaría saber si hay un corto camino o, al menos, una manera simple de mostrar que si E es Hausdorff así es la B, puedo probarlo, pero tengo que hacer un montón de observaciones y me da una realmente larga demostración.

Este es un ejercicio de Hatcher (Topología Algebraica) de la Sección 1.3, ejercicio 3

Answer 1

Voy a tratar de responder a la pregunta sin decir demasiado, por lo que todavía puede trabajar en él. Puedo editar mi respuesta para dar una solución completa si es necesario.

Deje $\mathcal{U}$ ser una cubierta abierta de a $E$. A continuación, para cada una de las $x\in B$ existe $p^{-1}(x)$ es finito. Por lo tanto podemos elegir $U^x_1,\ldots, U^x_{n_x}\in\mathcal{U}$ tal que $p^{-1}(x)$ es en la unión de estos conjuntos.

Sugerencias: Mira la imagen de $U^x_1,\ldots,U^x_{n_x}$ bajo $p$. Se puede obtener un conjunto abierto de $B$ a partir de este contengan $x$? ¿Cómo puede usted utilizar esto para obtener una cubierta abierta de a $B$? ¿Cómo se puede extraer una cubierta abierta de a $E$ a partir de esta información?