¿Por qué es la geometría Euclidiana escala invariante?

Question

En la geometría Euclidiana, yo con frecuencia el uso de los conceptos relacionados con la invariancia bajo de escala. Por ejemplo, yo sé que si dos plazas tienen diferentes longitudes de lado, la razón de las longitudes de los lados es la raíz cuadrada de la relación de sus áreas.

Me dio curiosidad acerca de la justificación de este principio hace poco, cuando se me pidió que explique pi, la relación de la circunferencia al diámetro de un círculo, a una joven estudiante. Se me ocurrió a mitad de camino a través de la explicación de que no sé la razón de por pi existe; no estoy seguro de por qué todos los círculos tienen la misma proporción.

No he estudiado la geometría no Euclidiana, pero supongo que esta escala de invariancia es una característica especial de la geometría Euclidiana. En la superficie de una esfera, por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es la relativa a la relación de la zona de el triángulo situado a la superficie de la esfera, mientras que la Euclidiana triángulos tienen la misma suma de los ángulos independientemente de su tamaño.

Sé que la geometría Euclidiana se distingue de otras geometrías por el postulado paralelo, la declaración de que por cualquier línea y cualquier punto en la línea, existe una única recta paralela a la original y por el punto.

Mi pregunta es, "¿Cómo puedo ir de este postulado paralelo y otras características relevantes de la geometría para comprender por qué la geometría Euclidiana no tiene innato escala de longitud involucrado?"

Answer 1

Quizás, por esta razón no es "profundo" es suficiente, pero es porque la fórmula de la distancia Euclidiana (la identidad Pitagórica) es la escala invariante:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

$$(Xa)^2 + (Xb)^2 = X^2(a^2+b^2) = (Xc)^2$$

mientras que la distancia de las fórmulas de la geometría esférica:

$$\cos \cos b = \cos c$$

y la geometría hiperbólica:

$$\cosh un \cosh b = \cosh c$$

carecen de esta propiedad.

Answer 2

La similitud es una característica especial de la geometría Euclidiana. De ello se sigue desde la distancia Euclídea postulado paralelo:

Para cada línea y cada punto de no la línea, no hay un único segundo línea, paralela a la primera, que contiene el punto.

Como cuestión de hecho, la siguiente afirmación, llamada Wallis del postulado, es equivalente al postulado paralelo:

Dado cualquier triángulo $\triángulo ABC$ y cualquier factor de escala, r, existe un triángulo $\triángulo DEF$ similar a $\triángulo ABC$ donde r es la relación de las longitudes de lados correspondientes.

Hay una lista de 15 reclamaciones de todos lógicamente equivalente a la distancia Euclídea postulado paralelo en la Wikipedia Postulado Paralelo artículo. Uno de los cuales, no es de extrañar, es el teorema de Pitágoras.

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Tal vez el siguiente va a proporcionar alguna información.

Asumir

AAA Similitud Teorema: Si dos triángulos tienen tres pares de ángulos congruentes, entonces los triángulos son semejantes.

la prueba de que no requiere el postulado paralelo, pero es bastante implicada. Sin embargo, con él, nos puede mostrar:

Similar Construcción de un Triángulo Teorema: Si $\triángulo ABC$ es el triángulo y $\overline{DE}$ de cualquier segmento, entonces hay un punto de $F$ tal que $\triángulo ABC$ es similar a $\triángulo DEF$.

Prueba: se puede construir un único rayo de $\overrightarrow{DP}$ entonces $\angle EDP \cong \ángulo de Un$. Podemos igualmente la construcción de un rayo único de $\overrightarrow{EQ}$ en el mismo lado de la $\overleftrightarrow{DE}$ entonces $\angle DEQ \cong \ángulo B$. Dado que las medidas de los ángulos de la construcción de ángulos, $\angle EDP$ y $\angle DEQ$, suma menos de $180$, por al quinto postulado de Euclides (equivalente a Euclidiana postulado paralelo), los dos rayos se cruzan en algún punto de $F$, formando un triángulo de $\triángulo DEF$. Por el ángulo del teorema de la suma (también lógicamente equivalente a la distancia Euclídea postulado paralelo), $\angle C \cong \ángulo F$. Ahora por la AAA similitud teorema, los dos triángulos son semejantes. $\square$

Entonces, dado cualquier factor de escala $r$, podemos construir un segmento de $\overline {DE}$, de modo que $$r=\frac{DE}{AB}.$$

A partir de esto, Wallis del postulado de la siguiente manera recta directa.

Por el contrario, supongamos Wallis del postulado y de ella derivan la distancia Euclídea postulado paralelo.

La prueba de la PPE de Wallis del Postulado: Supongamos que tenemos una línea de $\ell$ y un punto $P$ no en la línea. Podemos colocar una perpendicular desde $P$ línea $\ell$ y dejar que el perpendiculares que se cruzan $\ell$ en el punto $F$. A continuación, la construcción de una nueva línea $m$ a $P$ a $90$ grados a nuestra perpendicular. Esta nueva línea será paralelo $\ell$. Si no fuera, $m$ y $\ell$ ¿se cruzan formando un triángulo que violaría el teorema del ángulo exterior.

Queda por mostrar la línea $m$ es único. Supongamos que hay una línea diferente a la de $n$ también a través de $P$. Debemos mostrar $n$ no es paralelo, es decir, la línea $n$ se cruza con $\ell$.

Si $n$ es nuestro perpendicular $\overleftrightarrow{PF}$, obviamente, el cruce de $\ell$. Así que si $n$ es $\overleftrightarrow{PF}$, permite elegir un punto $P$ de $n$ entre líneas $\ell$ y $m$, pero no en $\overleftrightarrow{PF}$. Vamos a $R$ ser el punto de intersección de la perpendicular caído de $Q$ en la línea de $\overleftrightarrow{PF}$. Vamos a $r=\frac{PF}{PR}$. Wallis del teorema nos asegura que existe en alguna parte un triángulo $\triángulo ABC$ que es similar a la de $\triángulo PQR$ con factor de escala $r$. Podemos construir un nuevo triángulo de $\triángulo de la PSF de dólares en el segmento de$\overline {PF}$congruente a$\triángulo ABC$mediante la colocación de$S$en$\ell$a distancia$BC$de$F$y en el mismo lado de la$\overleftrightarrow{PF}$como$P$. Este triángulo es congruente a$\triángulo ABC$por el lado-ángulo-lado teorema de congruencia y de manera similar a$\triángulo PQR$. Por lo que los ángulos de$\angle FPS$y$\angle RPQ$son el mismo ángulo. Por lo tanto las líneas$n$,$\overleftrightarrow{PQ}$y$\overleftrightarrow{PS}$son de la misma línea, y$n$de hecho se cruzan$\ell$.$\square$

Answer 3

Actualmente estoy estudiando la Perspectiva y la geometría Proyectiva en mi clase de historia de las matemáticas y he aprendido un poco acerca de las diferencias en las geometrías de... de la Perspectiva y la geometría Proyectiva difieren de la geometría Euclidiana en que utilizan las propiedades descriptivas y de la geometría de Euclides sigue propiedades métricas. Esto significa que, en la geometría Euclidiana, usted debe mantener *distancia/longitud, las relaciones de distancia/longitud, ángulos, etc.* Por lo tanto, la escala de un objeto (similar triángulos por ejemplo) sería invariante. También, en la Perspectiva de la/geometría Proyectiva, las distancias y las relaciones de distancia y ángulos no mantiene igual que en la geometría Euclidiana, que es por qué las líneas paralelas convergen en un punto! A diferencia de la geometría Euclidiana, donde las líneas paralelas NUNCA se encuentran.

No estoy seguro de si esto está haciendo ningún sentido, pero esto es lo que he aprendido hasta el momento de estudiar la geometría Proyectiva. Espero que ayude...