Convergencia débil en $l_p$ implica convergencia puntual?

Question

¿Podría alguien compartir su opinión al respecto?

Considere en $l_p(Y)$ para $1<p<\infty$ con la medida de recuento en $Y$ .

Demuestre que si una sucesión converge débilmente en $l_p(Y)$ entonces convergería puntualmente en Y. Demuestre que la inversa sólo es válida cuando Y es finito.

Gracias.

Answer 1

Sugerencia
¿Puedes atar $|(x_n)_j - x_j| \le \|x_n - x\|_p$ ?
Tomemos la base canónica como contraejemplo de b) (¿cuál es su límite puntual? ¿Cuál es $\|i^p e_i - e\|_p$ ?)