El siguiente es el problema en el que estoy trabajando.
Sea $\{z_n\} = \{x_n\}+\{y_n\}$ sea una secuencia en la que $\{x_n\}$ es monotónicamente creciente, $\{y_n\}$ monotónicamente decreciente, y $\{z_n\}$ está limitada.
Es $\{z_n\}$ ¿convergente? ¿Y si $\{x_n\}$ y $\{y_n\}$ ¿también están acotadas?
Puedo verlo claramente y demostrarlo en el segundo caso, $\{z_n\}$ debe converger a la suma de cada uno de los límites de las sucesiones (porque existen).
Sin embargo, esto es lo que pienso sobre el caso en el que sólo $\{z_n\}$ está limitada.
Intuitivamente quiero decir que estaría bien que $\{z_n\}$ converge pero eso suena demasiado bien.
Así que consideré el siguiente caso.
Si $\{x_n\}$ aumenta "más rápido" que $\{y_n\}$ disminuyendo, $\{z_n\}$ se convertirá en una secuencia monotónicamente creciente y acotada, por lo que convergerá al sup de $\{z_n\}$ .
Si $\{y_n\}$ disminuye "más rápido" entonces con el argumento similar $\{z_n\}$ convergerá a la inf.
Si su tasa creciente y decreciente son iguales, entonces se trata de una secuencia constante, por lo que el límite es contundente.
Pero no estoy seguro al 100% de que no exista una "tasa de aumento y disminución intermedia" para que $\{z_n\}$ finalmente oscila o algo así.
¿Puede alguien ayudarme?
