Un problema sobre la integral de Riemann-Stieltjes

Question

Calcula la siguiente integral de Riemann-Stieltjes $\int_{-1}^{1} f(x)dg(x)$ donde $f(x)=x^2 + e^x$ y $g(x)=Sgn(x)$ .

He encontrado que la respuesta es 2 pero la respuesta dada es 1. He utilizado la siguiente fórmula

$\int_{a}^{b} f(x)dg(x)$ + $\int_{a}^{b} g(x)df(x)$ = $f(b)g(b)-f(a)g(a)$

Por favor, compruebe mi respuesta.

Answer 1

Si $g(x)=\mathrm{sgn}({x})$ entonces en, digamos, $x=2$ obtenemos $dg(x)=0$ .

De hecho, $dg=0\;\forall x\neq0$ . En $x=0, dg=2$

Por lo tanto, la integral se reduce a una evaluación de $f(x)$ en $x=0$ multiplicado por $dg(0)=2$ (Originalmente tenía esto como una función de paso 0-1, lo que daría $1$ )

$$f(0)=0^2+e^0=1$$

Así que, en realidad, también tengo $2$ ...contrario a mi primer intento en este post, donde visualizaba $g$ como una función escalonada 0->1.

Answer 2

Yo intentaría lo siguiente por definición: para cualquier partición del intervalo de integración:

$\;P=\left\{-1=x_0<x_1<...<x_k<x_{k+1}<...<x_n=1\right\}\;$ de $\;[-1,1]\;$ con $\;x_k<0\;,\;\;x_{k+1}>0\;$

tenemos que la suma de Riemann-Stieltjes para nuestras funciones es

$$\sum_{i=1}^nf(c_i)\left[g(x_i)-g(x_{i-1})\right]=f(c_{k+1})\cdot2\;,\;\;c_i\in[x_{i-1},\,x_i]\;$$

desde $\;g(x_i)-g(x_{i-1})=0 \;$ para dos puntos cualesquiera con el mismo signo.

Si ahora tomamos el límite de las sumas cuando $\;n\to\infty\;$ a la vez que $\;\max\limits_i\left\{x_i-x_{i-1}\right\}\rightarrow0\;$ obtenemos que el límite es igual a $\;f(0)\cdot2=1\cdot2=2\;$ así que me pasa lo mismo que a ti.