Lee atentamente:
Podríamos repetir el cálculo para paralajes mucho menores, por ejemplo 0",1, y encontraríamos $k$ ser mayor que un millón de veces el diámetro de la órbita terrestre.
Por lo tanto, si la Geometría Euclidiana y el Quinto Postulado se mantienen en el espacio real, $k$ debe ser infinitamente grande. Es decir, debe haber estrellas cuyos paralajes sean indefinidamente pequeños.
Así que no se trata tanto de un máximo paralaje sino alrededor de un mínimo uno. Cuanto más lejos esté una estrella, menor será su paralaje. En geometría euclidiana, el caso límite sería una estrella a distancia infinita, en cuyo caso los rayos de luz hacia esa estrella ideal serían paralelos y el paralaje sería cero.
En geometría hiperbólica no hay paralelas. Incluso para una estrella ideal, a una distancia infinita, el ángulo en esa estrella es cero, pero los ángulos en la línea base siguen sumando menos que $180°$ por lo que se seguiría viendo la estrella bajo diferentes ángulos para diferentes puntos de la órbita terrestre.
En geometría elíptica, las cosas son al revés. Utilicemos el sistema de coordenadas de la Tierra (y, por tanto, un modelo esférico) para simplificar. Tomemos una observación en el ecuador a las $0°$ E, y otro en el meridiano $90°$ Meridiano E. Desde ambos puntos, verías el polo norte en ángulo recto con el meridiano, es decir, paralaje cero aunque el polo norte esté a una distancia finita de tus observaciones. Si una estrella se encuentra "detrás" del polo norte, el paralaje sería negativo.
Si le cuesta imaginárselo, pruebe lo siguiente: está sentado en un tren que circula por el ecuador y mira directamente hacia el norte, perpendicular a las vías del tren. Ahora, para ver objetos cercanos, es de esperar que tenga que girar el telescopio hacia la izquierda a medida que el tren se desplaza hacia la derecha. Es el paralaje positivo. Cuanto más lejos esté un objeto, menos tendrá que girar. Si el objeto en cuestión es el polo norte, no tendrá que mover el telescopio en absoluto. El paralaje es cero. Y si el objeto está detrás del polo norte, entonces tendrá que girar en la dirección opuesta. Prueba a hacerlo con un globo terráqueo delante de ti.
Dado que su pregunta empezaba por máximo Parallax, supongo que te has confundido con esta sección:
Denote por $2 p$ el paralaje máximo de la estrella $A$ .
Supongo que esto significa simplemente el máximo en el tiempo, es decir, esperas hasta que el paralaje alcanza su máximo y ese es el número que utilizas para tus cálculos. Supongo que esto se ocupa del hecho de que mientras que $AB$ se supone perpendicular a $BC$ No es necesario que sea perpendicular al plano de la órbita terrestre (la eclíptica). En cualquier caso, yo lo consideraría un punto menor, mucho menos importante que el límite inferior de las paralajes.
