Valor de k para dar soluciones de matriz infinita, 0, 1.

Question

Tengo una pregunta que va: ¿Para qué valores de la constante $k$ tiene el sistema de ecuaciones siguiente:

• una solución única,
• ninguna solución,
• infinitas soluciones?

$$ \begin{cases} x &- 3y & &= 6\\ x & &+ 3z &= -3\\ 2x &+ ky &+ (3-k)z &= 1 \end{cases} $$

Traté de poner el sistema de ecuaciones en la matriz en forma escalonada reducida, terminó con la última línea que es $$ \begin{matrix} 0 & k+6 & 3-k &| 1, \end{matrix} $$ lo que no creo que tenga sentido.

Answer 1

Usted tiene $$ \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 6 \\ 1 & 0 & 3 & -3 \\ 2 & k & 3-k & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -3 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 3 & -9 \\ 0 & k+6 & 3-k & -11 \end{pmatrix} \to\\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 3-k-(k+6) & -11 + 3(k+6) \end{pmatrix} \to \\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & -3-2k& 7 + 3k \end{pmatrix} $$ ¿Qué ocurre en $-3-2k=0$ ? ¿Puedes terminar esto?

Answer 2

Pista: De la primera ecuación obtenemos $$x=6+3y$$ Si lo introducimos en la segunda ecuación obtenemos $$y+z=-3$$ y con la tercera ecuación obtenemos $$(6+k)y+(3-k)z=1$$ con $$y=-3-z$$ obtenemos $$(6+k)(-3-z)+(3-k)z=-11$$ por lo que obtenemos $$z(-k-3)=9+3k$$ ¿Puedes terminar?