Condición para la dependencia lineal

Question

Sea $\mathbf{x}\neq \mathbf{0}$ y $\mathbf{y}\neq \mathbf{0}$ sea $n \times 1$ vectores, $\mathbf{A}\neq \mathbf{0}$ y $\mathbf{B}\neq \mathbf{0}$ sea $m \times n$ matrices con $m>n$ y, para algunos $u < m$ , dejemos que

$$\mathbf{C} \equiv [\mathbf{I}_{u} , \mathbf{0}]_{u\times m},$$

con $\mathbf{I}_{u}$ que denota la $u \times u$ matriz de identidad.

¿Existen condiciones generales sobre las matrices $\mathbf{A}$ y $\mathbf{B}$ de modo que para $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ $$\mathbf{C A x} = \mathbf{C B y} \implies \mathbf{A x} = \mathbf{B y} ?$$

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Creo que debe haber condiciones en el rango de estas matrices o tal vez una relación entre ellas que debería hacer que funcione, pero no he sido capaz de resolverlos correctamente.

Answer 1

Matriz $C$ acaba de cortar la última $m-u$ filas de matrices $A$ y $B$ . Sea

$$A= \begin{bmatrix}A_1\\A_2\end{bmatrix}\qquad B= \begin{bmatrix}B_1\\B_2\end{bmatrix}$$

donde $A_1$ y $B_1$ son $u \times u$ matrices. Entonces

$$CAx = CBy \Leftrightarrow A_1x = B_1y$$

para cualquier $A_2$ , $B_2$ . Así que.., $$C A x = C B y \implies A x = B y$$ tendrá lugar (para cada $x$ , $y$ en dos lados) si y sólo si $$A_2x = B_2y$$ (para cada $x$ , $y$ ).