Es la hipotenusa de un triángulo siempre divisible por tres (por ternas Pitagóricas primitivas)?

Question

Buscando una prueba de que para el primitivo ternas Pitagóricas, la hipotenusa nunca es divisible por tres.

A continuación se muestra una lista de todas las ternas Pitagóricas primitivas con un hipotenusas menos de 300. Ninguno es divisible por 3.

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25) (20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53) (11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73) (13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97) (20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Así que la pregunta es: ¿es esto cierto para todas las ternas Pitagóricas primitivas?

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

La hipotenusa de un primitivo triple nunca es divisible por $3$. Para dejar $(x,y,z)$ ser una primitiva de triple, y supongamos $3$ divide $z$. A continuación, $3$ no se puede dividir $x$ o $y$, más del triple de no ser primitivo.

De ello se desprende que $x^2$ $y^2$ han resto $1$ sobre la división por $3$, lo que significa que $x^2+y^2$ resto $2$ sobre la división por $3$.

Comentario: Un poco más elaborado argumento muestra que si $p$ es un primo de la forma$4k+3$, $p$ no se puede dividir la hipotenusa de un primitivo triple.

Answer 2

No significativamente diferentes, pero me gustaría escribir esto con el módulo. Es decir, los números pueden ser$-1, 0, 1 (\mod 3)$, por lo que las plazas de ellos sólo puede ser $0, 1$$0+0 \equiv 0 (\mod 3)$, por lo que luego de una primitiva 3-tupla esto no es posible; también se $1+1 \equiv 2 \equiv - 1(\mod 3)$$\nexists c \in \mathbb{N}|c^2 \equiv -1(\mod 3)$. Así que la única posibilidad es $a \equiv 0, b\equiv 1, c\equiv 1$ dibujo de ambos resultados en uno: exactamente un lado es divisible por tres, en un primitivo triple y ese lado es una pierna.

Edit: mod 4 la situación no es diferente, las plazas son todavía el 0 y el 1 $(\mod 4)$, por lo que exactamente un lado es divisible por cuatro en una primitiva triple y ese lado es una pierna.

Y lo que ocurre es que el conjunto más pequeño, es un ejemplo de que cuando estos dos son diferentes: 3,4,5 y el segundo 5, 12, 13, que es cuando estos dos son el mismo. No es matemáticas hermoso?