¿Preguntas sobre la definición de topología?

Question

Tengo un problema con esta afirmación:

Consideremos un conjunto $S\subset \mathbb{R}^{n}$ . Si $\bar{S}=\mathbb{R}^{n}$ entonces $S^{c} \subseteq \partial S$ .

El problema que tengo es con el $\subseteq$ parte. Sabemos por definición que $S\cup S^{c}=\mathbb{R}^{n}$ . ¿Por qué tenemos la implicación $\subseteq$ en lugar de $=$ o incluso $\supseteq $ ?

Espero que mi pregunta tenga sentido. Gracias de antemano.

Answer 1

Por definición $\partial S=\overline{S}-S^\circ$ (donde $S^\circ$ es el interior de $S$ ). Por lo tanto, si $\overline{S}=\mathbb{R}^n$ , $$\partial S = \overline{S}-S^\circ = \mathbb{R}^n - S^\circ \supseteq \mathbb{R}^n-S=S^c.$$ El motivo de la $\supseteq$ es que $S^\circ \subseteq S$ Así que $\mathbb{R}^n - S^\circ \supseteq \mathbb{R}^n-S$ .

Edición: Véase el comentario de Brian M. Scott para un gran ejemplo de por qué la otra contención podría no mantenerse. Yo mismo estaba intentando pensar en uno.

Answer 2

Esta relación dice que todo punto que no esté en $S$ es un punto límite de $S$ . Si hubiera dicho $\text{“}\supseteq\text{''}$ habría dicho que cada punto límite de $S$ no está en $S$ . Consideremos el conjunto $S$ de todos los puntos racionales, es decir, puntos cuyas coordenadas son racionales. Cada punto de $\mathbb R^n$ es un punto límite de $S$ .