Me gustaría demostrar (aunque todavía no estoy seguro de que sea cierto), que cualquier vector $v\in \mathbb{R}^3$ con $\|v\| = 1$ puede escribirse como $\left(\cos(\beta)\sin(\alpha),\; \sin(\alpha)\sin(\beta), \; \cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)^T$ .
Por la presente, $0 \leq \alpha \leq \pi$ y $0 \leq \beta < 2 \pi$
¿Alguna idea de si es cierto o de cómo demostrarlo?
Sea $v=(v_1,v_2,v_3)$ tienen longitud 1.Sea $\alpha$ sea el ángulo entre el vector $v$ y el vector $(0,0,1)$ . Sea $\beta$ sea el ángulo entre $(v_1,v_2,0)$ y $(1,0,0)$ . Encontramos que $v_1=sin(\alpha)cos(\beta),v_2=sin(\alpha)sin(\beta),v_3=cos(\alpha)=cos^2(\frac{\alpha}{2})-sin^2(\frac{\alpha}{2})$
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