Primero pon $w$ bolas en cada uno de los $n$ cajas; eso consume $wn$ de las bolas, dejándote $r-wn$ distribuir arbitrariamente entre los $n$ cajas. Según la norma estrellas y barras el número de maneras de distribuir $m$ bolas indistinguibles entre $n$ cajas distinguibles es
$$\binom{m+n-1}{n-1}\;,\tag{1}$$
y en este caso $m=r-wn$ por lo que en este caso obtenemos
$$\binom{r-wn+n-1}{n-1}\;.$$
(Observa que tienes un signo mal en la expresión al principio de tu pregunta).
Recordemos ahora la identidad $\binom{n}k=\binom{n}{n-k}$ y aplicarlo a $(1)$ para obtener
$$\binom{m+n-1}{n-1}=\binom{m+n-1}m\;.\tag{2}$$
Así, el lado derecho de $(2)$ también da el número de formas de distribuir $m$ bolas indistinguibles entre $n$ cajas (y tiene otro error de signo: su $n-k+1$ debe ser $n+k+1$ ). En el caso $m=r-wn$ en la que partimos del mínimo de $w$ bolas en cada caja, se convierte en
$$\binom{r-wn+n-1}{r-wn}\;.$$
En el problema concreto que nos ocupa, sin embargo, no se puede utilizar ninguno de los dos sin hacer algunos ajustes. Tiene que $6$ cajas, a saber, la $4$ ranuras entre vocales adyacentes y las ranuras de los dos extremos, y $21$ bolas. Cada una de las $4$ Las casillas del centro deben recibir al menos una bola, pero cualquiera de las casillas de los extremos, o ambas, pueden dejarse vacías. Por lo tanto, debe empezar colocando una bola en cada una de las $4$ cajas centrales, dejando $17$ bolas que se distribuirán arbitrariamente entre los $6$ cajas. Cualquier expresión en $(2)$ ya se puede utilizar: hay $$\binom{17+6-1}{6-1}=\binom{22}5=\binom{22}{17}=\binom{17+6-1}{17}$$ formas de distribuir las consonantes entre las vocales, ignorando qué consonante es cada una. Por supuesto, esto debe multiplicarse por $5!21!$ para tener en cuenta el orden de las vocales y consonantes dentro de sus respectivos conjuntos de posiciones en la cadena.
