$\frac{3x+1}{x+1}+\frac{3y+1}{y+1}+\frac{3z+1}{z+1} \le \frac{9}{2}$

Question

Tengo problemas para probar que para cualquier $x,y,z>0$ tal que $x+y+z=1$ la siguiente desigualdad es cierta:

$\frac{3x+1}{x+1}+\frac{3y+1}{y+1}+\frac{3z+1}{z+1} \le \frac{9}{2}$

Me parece que la desigualdad de Jensen podría servir, pero me cuesta encontrar la función y los argumentos adecuados. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Pista:

$$\left(\frac1{x+1}+\frac1{y+1}+\frac1{z+1}\right)(x+1+y+1+z+1) \ge 9$$

Y

$$\frac{3x+1}{x+1} = 3 - \frac{2}{x+1}.$$

Answer 2

Pista: $f(x) = \dfrac{3x+1}{x+1}$ . A continuación, mostrar $f”(x) < 0$ .

Answer 3

De otra manera.

Tenemos que demostrar que $$\sum_{cyc}\left(\frac{3}{2}-\frac{3x+1}{x+1}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{1-3x}{x+1}\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\left(\frac{1-3x}{x+1}+\frac{3}{4}(3x-1)\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}(3x-1)\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{x+1}\right)\geq0$$ o $$\sum_{cyc}\frac{(3x-1)^2}{x+1}\geq0$$ ¡y ya está!