La fórmula para la suma finita $\sum_{1\leq\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{k}\leq n}\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{k}}{k}$

Question

Deje $n$ $k$ ser enteros positivos, $k\leq n$. Existe una formula para esta suma? $$ \sum_{(\alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots, \alpha_{k}):\,\, 1\leq\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{k}\leq n}\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{k}}{k} $$

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Deje $A$ ser la colección de $k$-tupla $1 \le \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots < \alpha_k \le n$.
Puesto que hay un bijection en $A \ni (\alpha_i) \mapsto (n + 1 - \alpha_i) \in A$ que enviar la suma de $\frac{\sum_{i} \alpha_i}{k}$$n+1 - \frac{\sum_{i} \alpha_i}{k}$, tenemos:

$$\sum_{\alpha \in A} \frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k}{k} = \sum_{\alpha \in A} \frac{n+1}{2} = \binom{n}{k}\frac{n+1}{2}$$

Answer 2

Desde $k$ es fijo, se puede tirar de él fuera de la suma. Entonces es sólo una cuestión de sumar los elementos de todas las $k$-combinaciones de los números naturales hasta el $n$. Hay $\binom nk$ tales combinaciones, que contengan $k$ números de cada uno, y cada número de $1$ $n$aparece el mismo número de veces, así que puede sustituir a todos ellos por su promedio de $(n+1)/2$, por lo que el total de la suma es $\binom nk\frac{n+1}2$.