Formula para la suma finita $\sum_{1\leq\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{k}\leq n}\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{k}}{k}$

Question

Sean $n$ y $k$ enteros positivos, $k\leq n$. ¿Existe una fórmula para esta suma? $$ \sum_{(\alpha_{1}, \alpha_{2},\ldots, \alpha_{k}):\,\, 1\leq\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots<\alpha_{k}\leq n}\frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots+\alpha_{k}}{k} $$

¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Sea $A$ la colección de $k$-tuplas $1 \le \alpha_1 < \alpha_2 < \cdots < \alpha_k \le n.
Dado que hay una biyección en $A \ni (\alpha_i) \mapsto (n + 1 - \alpha_i) \in A$ que envía la suma $\frac{\sum_{i} \alpha_i}{k}$ a $n+1 - \frac{\sum_{i} \alpha_i}{k}$, tenemos:

$$\sum_{\alpha \in A} \frac{\alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_k}{k} = \sum_{\alpha \in A} \frac{n+1}{2} = \binom{n}{k}\frac{n+1}{2}$$

Answer 2

Dado que $k$ está fijo, podemos sacarlo de la suma. Luego, es solo cuestión de sumar los elementos de todas las $k$ - combinaciones de los números naturales hasta $n$. Hay $\binom nk$ de tales combinaciones, que contienen $k$ números cada una, y cada número del 1 al $n$ aparece la misma cantidad de veces, por lo que podemos reemplazarlos todos por su promedio $(n+1)/2$, por lo que la suma total es $\binom nk\frac{n+1}2$.