En realidad, tu pregunta no tiene nada que ver con la física. Si la reducimos a lo esencial, estás preguntando "¿cuándo se cumple el (segundo) Teorema Fundamental del Cálculo para las integrales impropias?
tl;dr: Siempre y cuando tu camino se comporte razonablemente ( $C^1$ y todas las integrales convergen en el caso impropio), no importa.
En primer lugar, usted escribe $\Bbb{R}^n$ pero las fórmulas que escribe son específicas para $\Bbb{R}^3$ (en el caso general el potencial newtoniano es proporcional a $\frac{1}{|\xi|^{n-2}}$ ). Tenga en cuenta que en $\Omega=\Bbb{R}^3\setminus\{0\}$ siempre podemos definir las funciones $V:\Omega\to\Bbb{R}$ y $\mathbf{F}:\Omega\to\Bbb{R}^3$ definido como \begin{align} V(\xi):=\frac{-GM}{|\xi|}\quad \text{and}\quad \mathbf{F}(\xi):=-\frac{GM\,\xi}{|\xi|^3} \end{align} (He ignorado el $m$ Así que mi $\mathbf{F}$ es la fuerza por unidad de masa) Entonces, una simple comprobación muestra que $\mathbf{F}=-\text{grad}(V)$ . Ahora bien, cuando se quieren considerar integrales de línea de un campo vectorial sobre una curva, normalmente se consideran curvas compactas, que se pueden parametrizar por un $C^1$ (o a trozos $C^1$ ) camino $\gamma:[a,b]\to \Omega$ y entonces, por definición, \begin{align} \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}:=\int_a^b\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt \end{align} La razón por la que solemos suponer $\gamma:[a,b]\to\Omega$ ser $C^1$ es para que el integrando $(\mathbf{F}\circ\gamma) \cdot \gamma'$ es continua en $[a,b]$ y por tanto trivialmente Riemann-integrable en $[a,b]$ por lo que el RHS es en realidad un objeto propio.
En caso de que $\gamma$ tiene un dominio que es un intervalo $I$ con punto final inferior $\alpha$ punto final superior $\beta$ (cualquiera de los extremos puede ser infinito, cerrado o abierto, por lo que $(\alpha,\beta)$ , $[\alpha,\beta)$ o $(-\infty,89]$ o literalmente intervalo), entonces a-priori, $(\mathbf{F}\circ \gamma)\cdot \gamma'$ es continua pero no necesariamente integrable de Riemann en $I$ . Será Riemann-integrable en cada subintervalo compacto $[a,b]\subset I$ . Por lo tanto, ahora tenemos que hacer una suposición adicional sobre la curva, a saber, que $\gamma:I\to \Omega$ es $C^1$ y que existe el siguiente límite: \begin{align} \lim_{\substack{b\to \beta^-\\a\to \alpha^+}}\int_a^b\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt \end{align} En este caso, este límite es la definición del símbolo $\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}$ . En otras palabras, exigimos que $(\mathbf{F}\circ \gamma)\cdot \gamma'$ sea impropiamente Riemann-integrable en $I=(\alpha,\beta)$ . Si hacemos esta suposición, entonces ciertamente, desenrollando las definiciones, \begin{align} \int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{l}&:=\lim_{\substack{b\to \beta^-\\a\to \alpha^+}}\int_a^b\mathbf{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt\\ &=\lim_{\substack{b\to \beta^-\\a\to \alpha^+}}\int_a^b-(V\circ \gamma)'(t)\,dt\tag{chain rule}\\ &=\lim_{\substack{b\to \beta^-\\a\to \alpha^+}}\left[V(\gamma(a))-V(\gamma(b))\right]\tag{FTC} \end{align}
Hasta ahora, nos hemos limitado a tratar la definición de la integral de línea de Riemann impropia. Finalmente, para tu caso de interés que es una trayectoria $\gamma:[0,\infty)\to\Omega$ tal que $\gamma(0)=x_0$ y $\lim\limits_{t\to \infty}|f(t)|=\infty$ (es decir $\gamma$ se va al infinito). Sea $\gamma_{op}$ denotan la misma curva, recorrida en la orientación opuesta. A continuación, pretendemos demostrar que $-\int_{\gamma_{op}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}=V(x_0)$ (es decir, la integración de $\infty$ a $x_0$ de menos la fuerza gravitatoria es el potencial gravitatorio en $x_0$ ). Esto es sencillo (hasta tener cuidado con los signos menos debido a la física): \begin{align} -\int_{\gamma_{op}}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}&:=\int_{\gamma}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{l}\\ &=\text{as above}\\ &=\lim\limits_{\substack{b\to \infty \\ a\to 0^+}}\left[V(\gamma(a))-V(\gamma(b))\right]\\ &=\lim\limits_{\substack{b\to \infty \\ a\to 0^+}} \left[\frac{-GM}{|\gamma(a)|}+\frac{GM}{|\gamma(b)|}\right]\\ &=\frac{-GM}{|\gamma(0)|}+0\\ &=\frac{-GM}{|x_0|}\\ &=V(x_0) \end{align} En este caso, los límites se evaluaron desde $\gamma$ es continua en $0$ y puesto que $|\gamma(b)|\to \infty$ como $b\to \infty$ por lo que el recíproco converge a $0$ .
