¿Existe algún teorema que sugiera que QM+SR tiene que ser una teoría de operadores?

Question

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ACTUALIZACIÓN

Para precisar mi pregunta, definiré lo que entiendo por una teoría de operadores:

• En teoría de operadores es una teoría en la que los objetos dinámicos son operadores, es decir, las ecuaciones de movimiento se imponen a operadores.

• A teoría de la función de onda es una teoría en la que los objetos dinámicos son funciones del espacio-tiempo, es decir, las ecuaciones de movimiento se imponen a funciones.

En las teorías de función de onda tenemos operadores diferenciales (por ejemplo, $-i\nabla$ ), pero éstos no son dinámicos, por lo que existe una clara distinción entre un operador y un operador diferencial. Para que la distinción sea más evidente, colocaré sombreros $\hat{\square}$ sobre operadores dinámicos.

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En las primeras etapas de la antigua teoría cuántica (no relativista), Heisenberg desarrolló una teoría en la que los objetos fundamentales eran operadores, a saber, los operadores de posición y de momento: $$\begin{align} i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \hat X(t)&=[\hat X,\hat H] \\ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \hat P(t)&=[\hat P,\hat H] \end{align} \tag{QM.1}$$

Más o menos un año después, Schrödinger publicó una nueva teoría en la que el objeto fundamental es sólo una función del espacio-tiempo: $$-i\partial_t\psi(x)=-\frac{1}{2m}\Delta\psi(x)+V(x)\psi(x) \tag{QM.2}$$

Más tarde, Schrödinger demostró que las dos formulaciones son en realidad equivalentes .

Hoy en día tenemos QFT, que es una teoría de operadores porque las ecuaciones de movimiento se imponen a los campos, es decir, a los operadores. Por ejemplo, un campo escalar $\hat\phi$ evoluciona a través de $$\begin{align} i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\hat\phi(x)=[\hat\phi,\hat H]\\ i\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\hat\pi(x)=[\hat\pi,\hat H] \end{align} \tag{QFT.1}$$ donde $\hat \pi$ es el campo conjugado a $\hat\phi$ .

A mí me parece más o menos natural preguntar por una posible $(\mathrm{QFT.2})$ es decir, una formulación de QFT como teoría de función de onda : $$\begin{array} {}&\text{non-relativistic} & \text{relativistic}\\ \text{operator theory} & (\mathrm{QM.1}) & (\mathrm{QFT.1}) \\ \text{wave-function theory} & (\mathrm{QM.2}) & \quad ?? \end{array}$$

En mi opinión, los métodos funcionales (es decir, las integrales de trayectoria) pertenecen al punto de vista de los operadores. Creo que no es posible utilizar integrales de trayectoria para calcular, por ejemplo, amplitudes de dispersión sin utilizar antes o después operadores, lo que significa que las integrales de trayectoria en realidad no encajan en la $??$ ranura.

Mis preguntas :

• ¿Ha hecho alguien algo parecido a Schrödinger, en el sentido de reformular la QFT utilizando únicamente funciones del espacio-tiempo y operadores diferenciales? ¿Existe alguna teoría de mecánica cuántica relativista en la que los formalismos consistan en EDP?

• Si la respuesta a la primera pregunta es que a día de hoy no existe ninguna teoría de la función de onda, ¿hay alguna razón para esperar que nunca la haya? Quiero decir: ¿existe un teorema de no-go o un argumento que sugiera que es imposible formular la QFT como una teoría de función de onda?

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Mi opinión al respecto

Cualquier teoría relativista de las interacciones debe ser capaz de describir los fenómenos de creación/aniquilación, lo que los operadores hacen fácilmente (mediante $a,a^\dagger$ ). Pero una única función de onda debe tener un número fijo de argumentos espacio-temporales, por lo que el número de partículas debe ser fijo. Esto significa que un función de onda no será suficiente.

Una teoría de la función de onda de las interacciones debe, por tanto, consistir en un número infinito de funciones de onda cada uno con un número diferente de argumentos espacio-temporales: $$\begin{align} &\psi(x_1)\\ &\psi(x_1,x_2)\\ &\psi(x_1,x_2,x_3)\\ &\cdots \end{align}$$ lo que significa que debemos tener un número infinito de EDP, una por cada $\psi$ . Y las soluciones deben ser consistentes con la formulación del operador de QFT, es decir, debemos demostrar que la nueva formulación es equivalente a la antigua.

Creo que la manera más fácil de archivar esto es utilizar las funciones de correlación de QFT (o $n$ -funciones puntuales) $$\begin{align} \psi(x_1)&=\langle\hat\phi(x_1)\rangle\\ \psi(x_1,x_2)&=\langle\hat\phi(x_1)\hat\phi(x_2)\rangle\\ \psi(x_1,x_2,x_3)&=\langle\hat\phi(x_1)\hat\phi(x_2)\hat\phi(x_3)\rangle\\ &\cdots \end{align}$$

Con esto, en principio debería ser posible encontrar las EDP para el $\psi$ en términos de la EDP para $\hat\phi$ . Esto significa que debemos utilizar $(\partial^2+m^2)\hat\phi=\hat j$ para obtener $$\begin{align} \mathcal O_1\ \psi(x_1)&=\mathcal J(x_1)\\ \mathcal O_2\ \psi(x_1,x_2)&=\mathcal J(x_1,x_2)\\ \mathcal O_3\ \psi(x_1,x_2,x_3)&=\mathcal J(x_1,x_2,x_3)\\ &\cdots \end{align}$$ para algunos operadores diferenciales $\mathcal O_i$ y algunas fuentes $\mathcal J$ . Una vez que encontremos el $\mathcal O_i,\mathcal J$ no habrá referencia explícita a ningún operador, y sólo usaremos funciones de onda (por supuesto, estas funciones de onda no tienen la misma interpretación probabilística de la QM no relativista, pero esto es irrelevante: el punto es encontrar una formulación equivalente de QFT usando sólo funciones del espaciotiempo).

No sé si esto tiene mucho sentido, o si hay un enfoque mejor. Cualquier comentario será apreciado.

Answer 1

Lo que usted llama una teoría de operadores suele denominarse la imagen de Heisenberg de la mecánica cuántica. La teoría de la función de onda suele denominarse imagen de Schroedinger de la mecánica cuántica.

Es bien sabido que para cada modelo mecánico cuántico, la imagen de Heisenberg y la imagen de Schroedinger son totalmente equivalentes a través de una descripción dual, siempre que no se consideren las correlaciones temporales.

Por tanto, esto también es válido para las teorías cuánticas de campos, que son casos particulares de las teorías cuánticas. En la imagen de Schroedinger de la teoría cuántica de campos, la ecuación ordinaria de Schroedinger adopta la forma de una ecuación funcional de Schroedinger. Aquí los estados de una QFT se tratan como funcionales de las coordenadas de campo del mismo modo que los estados en QM se tratan como funciones de las coordenadas de posición. En el artículo de Jackiw se ofrece un análisis exhaustivo de la imagen funcional de Schroedinger, Análisis en variedades de dimensión infinita: Representación de Schrodinger para campos cuantizados (p.78-143 del documento enlazado).

Por otra parte, la imagen de Heisenberg es más general que la de Schroedinger, ya que permite analizar las correlaciones temporales de las magnitudes observables. Esto es importante en mecánica estadística, y esencial para el estudio de la teoría cuántica de campos en tiempo finito, a través del formalismo del camino temporal cercano (CTP). Para esto último, véase, por ejemplo Introducción al grupo de renormalización funcional de no equilibrio por Berges.

Como se menciona en los comentarios, el caso de la QFT relativista en 4D es un tanto peculiar, ya que aún existen problemas fundacionales sin resolver relacionados con la renomalización no permutativa. Como dice Dirac, los ''operadores'' en la imagen de Heisenberg ya no actúan en el espacio de Fock, de manera que no existe una imagen de Schroedinger en el espacio de Fock. Sin embargo, y Dirac no lo dice, la imagen de Heisenberg da (presumiblemente, probado sólo en dimensiones inferiores) una descripción válida del operador en un espacio de Hilbert diferente, y utilizando el generador de tiempo de la correspondiente representación unitaria del grupo de Poincare, se obtiene una imagen de Schroedinger correspondiente en este espacio de Hilbert renormalizado.

Answer 2

En efecto, existe una teoría de operadores diferenciales aplicada a las funciones de onda (o, más exactamente, a las funciones de onda), el formalismo funcional de Schrodinger, aunque no se utiliza mucho en la mayoría de las aplicaciones. Se define por una función de onda en un tiempo t

$$\begin{equation} \Psi[\phi(\vec x), t] \end{equation}$$

Sobre los que actúan operadores diferenciales, definidos por

$$\begin{eqnarray} \hat\phi \Psi[\phi(\vec x), t] &=& \phi \Psi[\phi(\vec x), t]\\ \hat\pi \Psi[\phi(\vec x), t] &=& -i\hbar\frac{\delta}{\delta\phi(x)}\Psi[\phi(\vec x), t] \end{eqnarray}$$