Demostrar si la función es medible por Lebesgue

Question

Quiero mostrar si $f(x_1,x_2)=\frac{1}{1-x_1\cdot x_2}$ es lebesgue medible o no en $[0,1)^2$ . Como empiezo en este caso, porque la función es de 2 variables..

Normalmente miraría si el conjunto {f>a} está en el álgebra sigma para todo a, lo practiqué antes con conjuntos borel. aquí no es útil creo.. leí en internet que ae-continuo implica medible?

Es tarea, así que por favor, ¿alguien puede dar una pista?

Ps: perdón por el mal inglés, no es mi primer idioma. Utilizo el libro alemán Maß und Integrationstheorie.

Answer 1

Las funciones continuas son medibles en Borel y, por tanto, medibles en Lebesgue. ¿Puedes utilizar este hecho, o ves cómo demostrarlo?

Answer 2

Para $(x_{1},x_{2})\in[0,1)^{2}$ , $x_{1}x_{2}\ne 1$ (si lo fuera, entonces $x_{1}=x_{2}^{-1}>1$ desde $0<x_{2}<1$ una contradicción).

El mapa $\varphi:(x_{1},x_{2})\rightarrow 1-x_{1}x_{2}$ es claramente continua, ahora en $[0,1)^{2}$ , $\varphi(x_{1},x_{2})\ne 0$ . Ahora el mapa $\xi:u\rightarrow 1/u$ es continua excepto en $u=0$ Así que $\xi$ es continua en $u=\varphi(x_{1},x_{2})$ Así que $f=\xi\circ\varphi$ es continua en $(x_{1},x_{2})$ .

Los mapas continuos son medibles en Borel y, por tanto, en Lebesgue.